COROLLAIRE III.

5. SI dans l'équation précedente ay = bx, a étoit égale à b, elle deviendroit y=x; & il n'y auroit alors qu'à faire BC=AB; & affignant à x la valeur arbitraire AD; FIG. 3. DE (y) parallele à BC, seroit égale à AD=x.

COROLLAIRE IV.

6. IL est évident que dans toutes les équations indéterminées du premier degré, les inconnues ont entre elles un raport constant, c'est-à-dire, qu'elles sont l'une à l'autre comme une ligne donnée, à une ligne donnée, ou en raison d'égalité: comme dans l'équation précedente ay=bx, où x. y :: a. b, & dans celle-ci y=x, ou x. y :: I. I.

COROLLAIRE V.

7. On voit aussi que dans les équations indéterminées du premier degré, une des inconnues croissant ou diminuant, l'autre croît aussi ou diminue; qu'elles peuvent toutes deux augmenter ou diminuer à l'infini, en gardant toujours entre elles le même raport.

THEOREME.

8.SI dans une équation indéterminée qui n'est point du premier degré, & où par confequent les deux lettres inconnues font multipliées ou par elles-mêmes, ou entre elles, de quelque maniere que ce puisse ètre, l'on assigne à l'une des deux tant de valeurs arbitraires qu'on voudra. Je dis que tous les points qui détermineront les valeurs correspondantes de l'autre, feront dans une ligne courbe.

DEMONSTRATIΟ Ν.

Dans les équations à la ligne droite, les inconnues gardent toujours (n°. 6.) entre elles un raport constant. Or lorsque dans une équation, les deux lettres inconnues font multipliées ou par elles-mêmes, ou entre elles, ou

de l'une & de l'autre maniere tout ensemble; elles ou les lignes qu'elles expriment, ne peuvent garder le même raport dans toutes les variations ou changemens de valeur qu'elles peuvent recevoir : car il faudroit pour cela, que l'une des deux fût dans un des membres de l'équation, & l'autre dans l'autre, toutes deux seules, ou accompagnées seulement de lettres connues. Mais par l'hypothese, ces deux lettres font multipliées ou par ellesmêmes ou entre elles; donc elles ne peuvent garder un raport constant dans tous les changemens de valeur qu'on leur peut assigner: c'est pourquoi, en affignant tant de valeurs que l'on voudra à l'une des deux, les valeurs relatives de l'autre ne peuvent être déterminées par une ligne droite. Il faut donc qu'elles le foient par une ligne courbe. C. Q. F. D.

C'est ici la preuve generale, chaque équation en fournit de particulieres, en les comparant à l'équation à la ligne droite, comme on va voir par l'exemple qui fuit.

EXEMPLE.

9. SOIT l'équation yy = aa - xx, qui est du second degré; Il est clair, 1°. Que x croissant, y diminue: car le second membre de l'équation devient d'autant plus petit, que x devient grande. 2°. On ne peut pas augmenter x en forte qu'elle furpasse la ligne exprimée par a : car le second membre deviendroit negatif; & la valeur de y feroit par consequent imaginaire. 3o. Si l'on fait x = a, l'équation deviendra yy = aaaa = 0. Il est donc évident que cette équation ne se rapporte point à la ligne droite; puisque ses qualitez font toutes differentes de celles des équations du premier degré ; & partant qu'elle se rapporte à une ligne courbe.

Pour déterminer & décrire cette courbe par le moyen F16. 4. de fon équation yy

Soit une ligne droite CH, donnée de position dont l'extrêmité C soit fixe, & dont les parties CP soient nommées x ; soit une autre ligne CG perpendiculaire à CH, & dont les parties CQ foient nommées, y; soit aussi une ligne donnée KL nommée, a; ayant mené PM parallele à CG, & QM parallele à CH; QM sera =CP=x, & PM=CQ=y.

Si l'on assigne présentement tant de valeurs différentes qu'on voudra à l'une des inconnues x (CP) l'on déterminera par la Geometrie, les valeurs correspondantes de y (PM). De forte que tous les points M feront à la courbe à laquelle se rapporte l'équation proposée yy=aa-xx.

=

Supposons premierement x = 0; le point P tombera en C, & le point M, fur la ligne CG; & effaçant dans l'équation, le terme xx, qui devient nul par la fuppofition de x=0, l'on aura yy aa, donc y =+a; c'est pourquoi si on prolonge CG du côté de C; & qu'on fasse Ce, & CE chacun E=KL=a; CE sera la valeur positive de y, & Ce sa valeur negative, & les points E & e, feront à la courbe dont il s'agit.

aura o=ad

-xx,

Supposons en second lieu y = 0, le point Q se confon. dra avec le point C, le point M tombera sur CH, & l'on ou xx = aa; donc x = +a; c'est pourquoi, si l'on prolonge CH du côté de C, & qu'on prenne de part & d'autre du point C, CB & CA chacune égale KL=a; CB sera la valeur positive de x, & CA sa valeur negative, & les points B & A, feront à la même courbe en question. D'où l'on voit déja que les quatre points A, E, B, e, sont également distans du point C.

Si l'on assigne à x une valeur quelconque CP moindre que CB pour déterminer la valeur de PM=y, l'on aura en extrayant la racine quarrée y= + Vaa - xx d'où l'on tire cette construction. Ayant prolongé PM du côté de P; du point C pour centre, & pour demi diametre l'intervalle KL=a, l'on décrira un cercle qui coupera PM en M & m; PM fera la valeur positive de y, & Pm sa valeur negative, & les points M, m seront à la courbe cherchée; car à cause du triangle rectangle CPM; l'on a PM2=CM2 - CP2, c'est-à-dire en termes Algebriquesyy=aa-xx; donc y=+Vaa-xx.

C

Or il est évident que pour déterminer la valeur de y (PM) dans toutes les positions du point P, il faudra decrire un cercle du centre C, & du rayon KZ; c'est pourquoi ce cercle est lui-même la courbe cherchée, ce qui d'ailleurs étoit facile à remarquer : mais on a jugé à propos de faire sur l'équation au cercle, qui est la plus fimple de toutes les courbes, les raisonnemens que l'on vient de faire, pour donner une idée de ceux que l'on doit faire fur les équations aux autres courbes, afin de les décrire par leur moyen, d'en marquer les principales déterminations, & d'en découvrir les principales proprietez.

COROLLAIRE I.

10. On voit clairement qu'au lieu d'avoir assigné à x, dans l'équation précedente, des valeurs CP prises sur CH pour trouver tous les points M, m, ou pour déterminer les valeurs correspondantes de y = PM, l'on auroit pû regarder x comme inconnue, & assigner à y des valeurs CQ prises sur CG, qui auroient servi à déterminer de la même maniere les valeurs correspondantes de x=QM= CP, en tirant de l'équation précedente, x=Vaa - уу.

COROLLAIRE II.

11. IL est clair que si une des inconnues x de cette équation yy = aa - xx devenoit une constante, la valeur de l'autre y pourroit de même être déterminée par le moyen du cercle; d'où il suit en general que toutes les équations déterminées du second degré peuvent être construites par le moyen du cercle, & qu'elles font de même genre que les équations indéterminées du même second degré.

REMARQUES.

12. ON remarquera 1o. Que dans toutes les positions du point P, la ligne PM doit toujours demeurer parallele à CG; & que dans toutes les positions du point la ligne QM doit toujours demeurer parallele à CH.

20. Qu'il y a toujours deux points, l'un (PP) sur CH, & l'autre (Q) fur CG, qui peuvent servir également à déterminer un même point (M): 3°. Que tout ce qu'on vient de dire du cercle se peut appliquer à toutes les autres courbes, lorsqu'il s'agit de les décrire par le moyen de leurs équations.

DEFINITIONS.

13. DANS toutes les courbes, les lignes droites (CH) dont au moins une des extrêmitez (C) est fixe, & dont les parties (CP) font nommées par l'inconnue de l'équation à qui on donne des valeurs arbitraires (CP) pour déterminer la grandeur de la ligne (PM) exprimée par l'autre inconnue, font nommées axes ou diametres de ces courbes.

14. Les mêmes parties (CP) font nommées abcifsses ou coupées.

15. Les lignes (PM) exprimées par l'inconnue de l'équation dont on cherche la valeur eu supposant l'autre inconnue comme donnée à chaque position du point P, & qui demeurent paralleles à elles-mêmes, pendant que le même point P change de place, sont nommées appliquées, ou ordonnées à l'axe CH.

16. Parceque QM est égale & parallele à CP, & CQ à PM, & que le point pris sur CG peut servir à trouver le point M aussi bien que le point P; on peut prendre CG pour l'axe ou le diametre de la courbe; CQ pour l'abciffe, ou coupée ; & QM, pour l'appliquée ou ordonnée; c'est pourquoi on nommera CH, & CG, axes ou diametres conjuguez; CP & PM, ou CQ & QM ensemble coordonnées; le parallelogramme CPMQ formé par les coordonnées, le parallelogramme des coordonnées ; & le point C, le commencement, ou l'origine des coordon.