5. áb, SI dans l'équation précedente ay = bx, a étoit égale à 6, elle deviendroit y=x; & il n'y auroit alors qu'à faire BC=AB; & affignant à x la valeur arbitraire AD; FIG. 3. DE (y) parallele à BC, feroit égale à AD=x. COROLLAIRE IV. 6. Il est évident que dans toutes les équations indéterminées du premier degré, les inconnues ont entre elles un raport conftant, c'eft-à-dire, qu'elles font l'une à l'autre comme une ligne donnée, à une ligne donnée, ou en rai. fon d'égalité : comme dans l'équation précedente ay=bx, où x. y :: a. b, & dans celle-ci y=x, ou x. y :: I. I. 7. COROLLAIRE V. ON voit auffi que dans les équations indéterminées du premier degré, une des inconnues croiffant ou diminuant, l'autre croît auffi ou diminue; qu'elles peuvent toutes deux augmenter ou diminuer à l'infini, en gardant toujours entre elles le même raport. THEOREME. 8. SI dans une équation indéterminée qui n'est point du premier degré, & où par confequent les deux lettres inconnues font multipliées ou par elles-mêmes, ou entre elles, de quelque maniere que ce puiffe ètre, l'on alligne à l'une des deux tant de valeurs arbitraires qu'on voudra. Je dis que tous les points qui détermineront les valeurs correspondantes de l'autre, feront dans une ligne courbe. DEMONSTRATION. DANs les équations à la ligne droite, les inconnues gardent toujours (n°. 6.) entre elles un raport constant. Or lorfque dans une équation, les deux lettres inconnues font multipliées ou par elles-mêmes, ou entre elles, ou de l'une & de l'autre maniere tout ensemble; elles ou les lignes qu'elles expriment, ne peuvent garder le même raport dans toutes les variations ou changemens de valeur qu'elles peuvent recevoir : car il faudroit pour cela, que l'une des deux fût dans un des membres de l'équation, & l'autre dans l'autre, toutes deux feules, ou accompagnées feulement de lettres connues. Mais par l'hypothefe, ces deux lettres font multipliées ou par ellesmêmes ou entre elles; donc elles ne peuvent garder un raport constant dans tous les changemens de valeur qu'on leur peut affigner: c'eft pourquoi, en affignant tant de valeurs que l'on voudra à l'une des deux, les valeurs relatives de l'autre ne peuvent être déterminées par une ligne droite. Il faut donc qu'elles le foient par une ligne courbe. C. Q. F. D. C'eft ici la preuve generale, chaque équation en fournit de particulieres, en les comparant à l'équation à la ligne droite, comme on va voir par l'exemple qui fuit. EXEMPLE. 9. SOIT = Pour déterminer & décrire cette courbe par le moyen FIG. 4. de fon équation yy=aa-xx. Soit une ligne droite CH, donnée de pofition dont l'extrêmité C foit fixe, & dont les parties CP foient nommées x ; foit une autre ligne CG perpendiculaire à CH, & dont les parties CQ foient nom mées, mées, y; foit auffi une ligne donnée KL nommée, a ; ayant mené PM parallele à CG, & QM parallele à CH; QM fera =CP=x,& PM=CQ=y. Si l'on affigne préfentement tant de valeurs différentes qu'on voudra à l'une des inconnues x (CP) l'on déterminera par la Geometrie, les valeurs correfpondantes de y (PM). De forte que tous les points M feront à la courbe à laquelle fe rapporte l'équation propofée yy-aa-xx. Suppofons premierement x=o; le point P tombera en C, & le point M, fur la ligne CG; & effaçant dans l'équation, le terme xx, qui devient nul par la fuppofition de x=o, l'on aura yyaa, donc y = +a; c'est pourquoi fi on prolonge CG du côté de C; & qu'on faffe Ce, & CE chacun E-KL= a; CE fera la valeur pofitive de y? & Ce fa valeur negative, & les points E & e, feront à la courbe dont il s'agit. Suppofons en second lieu aura o=aa en fecond lieu yo, le point Q fe confondra avec le point C, le point M tombera fur CH, & l'on xx, ou xx➡aa; donc x = ±a ; c'est pourquoi, fi l'on prolonge CH du côté de C, & qu'on prenne de part & d'autre du point C, CB & CA chacune égale KL=a; CB fera la valeur pofitive de x, & CA fa valeur negative, & les points B&A, feront à la même courbe en queftion. D'où l'on voit déja que les quatre points A, E, B, e, font également diftans du point C. Si l'on affigne à x une valeur quelconque CP moindre que déterminer la valeur de PM=y, l'on CB pour aura en extrayant la racine quarrée y=+ Vaa — xx d'où l'on tire cette construction. Ayant prolongé PM du côté de P; du point C pour centre, & pour demi diametre l'intervalle KL = a, l'on décrira un cercle qui coupera PM en M & m; PM fera la valeur pofitive de y, & Pm fa valeur negative, & les points M, m feront à la courbe cherchée; car à caufe du triangle rectangle CPM; l'on a PM2=CM2 — CP2, c'est-à-dire en termes Algebriques yy=aa—xx ; donc y=±√aa—xx. C Or il est évident que pour déterminer la valeur de y (PM) dans toutes les pofitions du point P, il faudra decrire un cercle du centre C, & du rayon KL; c'est pourquoi ce cercle eft lui-même la courbe cherchée, ce qui d'ailleurs étoit facile à remarquer: mais on a jugé à propos de faire fur l'équation au cercle, qui eft la plus fimple de toutes les courbes, les raisonnemens que l'on vient de faire, pour donner une idée de ceux que l'on doit faire fur les équations aux autres courbes, afin de les décrire par leur moyen, d'en marquer les principales déterminations, & d'en découvrir les principales proprietez. COROLLA IRE I. 10. On voit clairement qu'au lieu d'avoir affigné à x, dans l'équation précedente, des valeurs CP prifes fur CH pour trouver tous les points M, m, ou pour déterminer les valeurs correspondantes de y=PM, l'on auroit pû regarder x comme inconnue, & affigner à y des valeurs CQ prifes fur CG, qui auroient fervi à déterminer de la même maniere les valeurs correspondantes de x= QM= CP, en tirant de l'équation précedente, x=Vaa-yy. COROLLAIRE I I. II. IL eft clair que fi une des inconnues x de cette équation yyaa-xx devenoit une conftante, la valeur de l'autre y pourroit de même être déterminée par le moyen du cercle; d'où il fuit en general que toutes les équations déterminées du fecond degré peuvent être conftruites par le moyen du cercle, & qu'elles font de même genre que les équations indéterminées du même second degré. REMARQUES. 12. ON remarquera 1o. Que dans toutes les pofitions du point P, la ligne PM doit toujours demeurer parallele à CG; & que dans toutes les pofitions du point Q, la ligne QM doit toujours demeurer parallele à CH. 2. Qu'il y a toujours deux points, l'un (P) fur CH, & l'autre (Q) fur CG, qui peuvent fervir également à déterminer un même point (M): 3°. Que tout ce qu'on vient de dire du cercle fe peut appliquer à toutes les autres courbes, lorfqu'il s'agit de les décrire par le moyen de leurs équations. DEFINITION S. 13.DANS toutes les courbes, les lignes droites (CH) dont au moins une des extrêmitez (C) eft fixe, & dont les parties (CP) font nommées par l'inconnue de l'équation qui on donne des valeurs arbitraires (CP) pour déterminer la grandeur de la ligne (PM) exprimée par l'autre inconnue, font nommées axes ou diametres de ces courbes. 14. Les mêmes parties (CP) font nommées abciffes ou coupées. 15. Les lignes (PM) exprimées par l'inconnue de l'équation dont on cherche la valeur eu fuppofant l'autre inconnue comme donnée à chaque pofition du point P, & qui demeurent paralleles à elles-mêmes, pendant que le même point P change de place, font nommées appliquées, ou ordonnées à l'axe CH. 16. Parceque QM est égale & parallele à CP, & C Q à PM, & que le point pris fur CG peut fervir à trouver le point M auffi bien que le point P; on peut prendre CG pour l'axe ou le diametre de la courbe; CQ pour l'abciffe, ou coupée; & QM, pour l'appliquée ou ordonnée; c'est pourquoi on nommera CH, & CG, axes ou diametres conjuguez; CP & PM, ou CQ & QM ensemble coordonnées; le parallelogramme CPMQ formé par les coordonnées, le parallelogramme des coordonnées; & le point C, le commencement, ou l'origine des coordon. nées. 17. Les équations indéterminées ne servent pas feulement à construire les Problêmes indéterminez, ou à dé-. crire les courbes aufquelles elles fe rapportent, & dont elles expriment la nature. On pourroit encore par leur |