protes, & dont les termes font disposez dans l'un & l'autre membre de l'équation felon ce qui est dit dans le premier cas de la remarque précédente.

I

24

Faisant donc x-a=z, l'on réduira l'équation à celle - ci czz 2ayzaac, ou-x=ac. Il faudroit pour faire la seconde réduction prendre-y = u; mais parceque l'inconnue y qui n'est point quarrée dans l'équation à réduire fe trouve négative dans cette seconde réduction, & qu'elle y doit être positive, les réductions que l'on vient de faire ne serviront de rien. II faut donc changer les fignes de tous les termes de l'équation pour la réduire de nouveau, & l'on aura

=

24

=x

x=z, l'on réduizy+, & faisant y

ay - xy; & en faisant a ra l'équation à celle-ci + ac = +=, l'on aura ac = qu. Les réductions & l'équation réduite serviront à décrire l'Hyperbole, qui paffera par le point Kou A qui (Hyp.) ne font qu'un même point. On voit encore par l'équation à réduire que 'Hyperbole doit passer par le point K: car fi l'on fait x= o, l'on aura aussi d'où il fuit que les coor données s'anéantissent au point K.

y=0,

:

:

Où l'on donne la Méthode de construire les Problémes Solides déterminez, par le moyen de deux équations locales, ou indéterminées, lorsque l'une des deux se rapporte au cercle, ou y peut être ramenée.

XXIII.T

L

MÉTHODE.

Es inconnues de ces deux équations étant les mêmes, elles auront leur origine en un même point, & ayant construit ces deux équations l'une après l'autre par les regles de la Section précedente, les points où les courbes ausquelles elles appartiennent se couperont, résoudront les Problêmes, comme on va voir par les exemples qui suivent.

1. U N demi cercle AMB dont le diametre est AB, & le F1G. 96.
centre C, & une ligne GH perpendiculaire à AB, étant don-
nez de position, il faut trouver sur la circonférence le point M,
par où ayant mené du centre C, la droite CME, qui rencon-
tre GH en E, & par le même point M, la droite MHparal-
lele à AB, qui rencontre la même GH en H; HE soit égale
au demi diametre CB du cercle donné, ou à une autre ligne
donnée.

Ayant supposé le Problême résolu, on abbaissera du point M sur AB la perpendiculaire MP; & ayant nommé les données CB, ou CM, ou (Hyp.) HE, a; BG, b; & les indéterminées CP, x; PM, y; PG, ou MH fera a+b-x, & les triangles semblables CPM, MHE,

:

donneront x, (CP).y (PM) ; : a + b — x (MH). a(HE), d'où l'on tire ax = ay + by: - ху, qui eft une équation à l'Hyperbole par raport à ses asymptotes. Et à cause du triangle rectangle CPM, l'on aura xx + yy = aa qui est une équation au cercle...

Si l'on fait présentement évanouir l'inconnue y, l'om aura après avoir ordonné l'équation,

x2-2ax+aaxx+2ax - a

Et fi l'on fait évanouir x, ( car il est à propos de faire évanouir les deux inconnues l'une après l'autre, pour voir si l'équation qui résulte d'une maniere n'est pas plus fimple que celle qui résulte de l'autre ) l'on aura.

4

2a'y-a2 =

qui paroit plus simple que la précédente. Mais comme ces deux équations sont du quatrième degré, & qu'on ne peut, ni par la divifion, ni par la transformation, les réduire à une équation du second; il suit que le Problême eft folide, & parceque l'une des deux équations indéterminées appartient au cercle, on le construira par leur moyen en cette forte.

Il est clair que l'équation xx + yy = aa, appartient au cercle donné AMB; c'est pourquoi il n'y a qu'à construire l'équation à l'Hyperbole ax = ay + by - xy; faifant donc pour la réduire a + b — x = z, l'on aura x === a+b-z; & mettant cette valeur de x dans l'équation, elle deviendra aa + ab az = yz, ou aa + ab = yz + az; & faisant encore y + a = u, l'on aura l'équation ré-. duite aa + ab = uz, qui fournit avec les réductions cette construction.

Le point C étant l'origine des inconnues x qui va vers G, & y parallele à GH; à cause de la premiere réduction a+b - x = x, le point G sera (Art. 16. no.4.) l'origine dez qui revient vers C. A cause de la seconde réduction

y + a

:

y+au,

on prolongera HG, en 0, & ayant fait G O a=CB; le point O fera l'origine des inconnues z qui va vers Z parallele à GC, & u qui va vers H, & le sommet de l'angle des asymptotes, qui feront OL & OH. Et à cause de l'équation réduite aa + ab = uz, dont la quantité connue da + ab = a + b x a = CG x CB=(Conft.) CG × GO, l'on décrira (Art. 14.) par le centre C du cercle AMB, l'Hyperbole CM qui coupera le cercle au point cherché M.

AYANT prolongé M P jusqu'à l'asymptote O Z en K, & mené CZ parallele à PK, par la propriété des asymptotes (Art. 14. no. 1. ) OL × LC = 0H × HM; donc CP x PK = PM × MH; donc CP. PM :: MH. PK. Mais à cause des triangles semblables CPM, MHE, CP. PM :: MH. HE; donc MH.PK :: MH. HE; & partant PK(=GO=(Conft.) CB) = HE. C. Q. F. D.

EXEMPLE II.

Problême Solide.

:

2. DIVISER un arc de cercle donné BDC, dont le centre FIG. 97. eft A, & la corde BC, en trois parties égales BD, DF, FC.

Ayant supposé le Problême résolu, les cordes BD, DF, FC feront égales; celle du milieu DF sera parallele à BC, le rayon AE, perpendiculaire à BC sera aussi perpendicu laire à DF, & les coupera toutes deux par le milieu en H & en G, & fa partie AH comprise entre le centre A, & la corde BC, sera donnée de grandeur, & de position: mais AG & GD ou GF seront indéterminées. Si l'en mene encore les deux rayons AD, AF, qui rencontrent BC en I & en K; HI sera = HK, & les triangles BDI, CFK feront égaux, semblables, & isosceles; puisque par l'Hypothese l'angle IDB = IDF = AIK = BID. Par

Bb

la même raison l'angle KFC = KFD = IDF = AKI =CKF; & qu'outre cela BD=CF.

Nommant donc les données AE, ou AD, ou AF, a; HB, ou HC, b; AH, c ; & les inconnues AG, x ; GD ou GF, y; DF, ou DB, ou BI sera, 2y; & partant HI, b-2y.

A cause des triangles semblables AGD, AHI, l'on aura x (AG).y (GD):: c(AH). 6- 2y (HI), d'où l'on tire bx 2 xy = cy, qui est une équation à l'Hyperbole par raport à ses asymptotes; & à cause du triangle rectangle AGD, l'on aura xx + yy = aa, qui est une équation au cercle du Problême BDC.

Si l'on fait présentement évanouir une des deux inconnues renfermées dans les deux équations indéterminées que l'on vient de trouver, l'on aura une équation du quatriême degré qui ne peut être réduite à une équation du second; d'où l'on doit conclure que le Problême est solide; ainsi on le peut construire par le moyen des deux mêmes équations indéterminées. Mais l'équation au cercle se trouve construite, puisqu'elle se rapporte au cercle du Problême BDC. C'est pourquoi il n'y qu'à construire l'équation à l'Hyperbole, qui étant réduite donne avec ses réductions cette construction.

Soit prolongée AH en L, en forte que AL=AH, & menée par Z une parallele à BC, fur laquelle ayant pris LO = HB, l'on menera par O la droite OM.parallele à AG, qui rencontrera H B en X. L'Hyperbole A D décrite par le centre A entre les asymptotes OL, OM, coupera l'arc BDC au point cherché D; de forte que si l'on mene DF parallele à BC, les points D & F diviseront l'arc BDC en trois parties égales B D, DF, FC.

DEMONSTRATION.

AYANT mené par le point D, où l'Hyperbole A D coupe l'arc BDC, la droite DN parallele à l'asymptote OM, qui rencontrera HB en V, & LO en N, & par le centre A, le diametre gAf parallele à l'asymptote OL,