mes que l'on vient de démontrer. On n'a démontré les quatre derniers que pour faire voir l'usage de notre principe, & que par fon moyen, on peut démontrer d'une maniere qui est toujours la même, toutes les proprietez des raports égaux, & inégaux, des proportions, & des progressions geometriques. 2°. L'on remarquera aussi qu'en suivant le même principe, l'on démontrera avec la même facilité toutes les proprietez des raports, proportions, & progressions arithmetiques. 3o. Que l'équation qui exprime la consequence ou la verité que l'on veut démontrer, peut toujours être délivrée de fractions, de signes radicaux, & réduite à ses plus fimples termes, avant que de chercher à lui rendre semblable celle qui renferme l'Hypothese : car une équation étant vraye dans un état, elle le fera dans tous ceux qu'elle est capable de recevoir. Il s'agit presentement d'ajouter, soustraire, multiplier, diviser, & extraire les racines des raports, ou fractions. ADDITION, ET SOUSTRACTION. 43. POUR les ajouter, on les écrira de suite sans changer aucun signe; & pour les soustraire, on les écrira de suite en changeant les signes de celles qui doivent être soustraites, soit que leur dénominateur soit le même, ou non. On leur donnera enfuite un même dénominateur ; & après avoir réduit (art. 1. no. 11.) dans l'un & l'autre cas, les numerateurs semblables, on prendra pour la fomme, ou pour la difference, celles des deux exprefsions qui sera la plus fimple. ab Pour ajouter an avec ad, l'on aura abad. Pour ajou. aab+ ter a-2aabb+++ aabb aa-bb + د : avec C C ou après les avoir réduites en même dénomination aab + a'bb aab+ at bb a-2aabb+6+ mination, ab c-d ab c-d de aa-bb aa C bb l'on écrira ou, après leur avoir donné un même dénominateur aac-bbc-aad + bbd - abc La premiere expression est la plus. simple. CC cd MULTIPLICATION. 44. ON multipliera les numerateurs, & ensuite les dénominateurs l'un par l'autre ; & les deux produits formeront une fraction que l'on réduira à son expression la plus simple. La premiere supposition donne ac = bp, & la feconde, bc = dq; donc ( Axio. 1. Coroll. 1.) abcc = bdpq; acc donc (Axio. 1. Coroll. 5.) abce=pq= C. Q. F. D. cd C ab ab C en divisant les deux termes par b. Par la même raison x d, ou DEFINITION. d I 45. LE produit de deux raports differens ac bd est appellé raport composé, ou raison composée ; & le produit aa bb d'un raport, multiplié par lui-même, est appellé a 6. raport doublé, ou raifon doublée, : DVISION. 46. LE produit du numerateur du dividende par le dénominateur du diviseur sera le numerateur du quotient, & le produit du dénominateur du dividende par le numerateur du diviseur, sera le dénominateur du quotient. On réduira ensuite le quotient à son expression la plus simple. ab ac Soit proposé le raport à divifer par. Ayant ab ac suppose=p, &= q. Il faut prouver que bb CC b La premiere supposition donne ab = cp; la seconde, tipliant chaque membre par b, & divisant chaque membre ac d De même divisé par d, ou par -, donne EXTRACTION Des racines des quantitez fractionnaires. ac bd 47. IL est clair par les regles de la multiplication des fra&ions, que pour extraire leurs racines, il n'y a qu'à extraire celle du numerateur, & celle du dénominateur, & ces deux racines formeront une fraction, qui sera la Les mêmes operations sur les fractions irrationnelles n'ont rien de particulier. Fin de l'Introduction. Où l'on donne les définitions & les principes generaux qui servent pour refoudre les Problémes, & démontrer les Theorémes de Geometrie. I. DEFINITIONS. Ly a deux sortes de propositions dans la 1. Les Theorêmes sont des propositions qui contiennent des veritez Geometriques qui ne dépendent d'aucune operation, & qu'il faut seulement démontrer, A 2. Les Problêmes sont d'autres propositions qui demandent que l'on fasse quelque operation, & que l'on démontre que l'operation que l'on a faite, fatisfait à la question. Ce qui s'appelle refoudre le Problême. : 11 y a des Problêmes déterminez, & d'autres indéter minez. 3. Les Problêmes déterminez sont ceux qui n'ont qu'une feule solution, ou qu'un nombre déterminé de solutions. Si l'on propose, par exemple, de couper une ligne donnée en deux également, on voit clairement que ce Problême ne peut avoir qu'une seule solution; mais si l'on FIG. 1. propose de couper une ligne donnée AB en un point C, en forte que le rectangle AC x CB soit égal au quarré d'une autre ligne donnée EF; il est clair que ce Problême peut avoir deux solutions, & qu'il n'en peut pas avoir davantage: car fi après avoir trouvé le point Ĉ qui satisfait à la question, on la coupe encore en un autre point D qui soit autant éloigné de A que C l'est de B, le rectangle AD × DB fera égal au rectangle AC × CB puisque AD =CB, & AC=DB. Il est aisé de voir qu'il n'y a point d'autre point qui puisse satisfaire au Problême. 4. Les Problêmes indéterminez sont ceux qui ont une infinité de solutions: comme si l'on propose de diviser une ligne donnée en deux parties sans y admettre aucune autre condition, il est évident que tous les points de cette ligne fatisfont au Problême. De même si l'on propose de trouver deux lignes dont le raport foit égal à celui de deux autres lignes données; l'on voit évidemment que les deux lignes que l'on cherche, peuvent être prises d'une infinité de grandeurs differentes, & qui auront toujours entr'elles le même raport. Semblablement. F1G. 2. 5. Si l'on demande de trouver un point B sur la circonference d'un demi cercle ABC, en forte que la perpendiculaire BH, menée du point cherché B fur le diametre AC soit moyenne proportionnelle entre les parties AH & HC du diametre AC. On sçait que tous les points de la circonference ont cette proprieté, c'est-à-dire que toutes : > |