Où l'on donne la Méthode de conftruire les Problêmes Solides par le moyen de leurs équations déterminées ; ou ce qui eft la même chofe, de conftruire les équations déterminées du troifiême, & du qua triême degré. XXIV. METH O D E. VOIT qu'on ait employé deux ou plufieurs lettres inconnues, ou qu'on n'en ait employé qu'une pour réfoudre un Problême, quand on eft venu à une équation déterminée du troifiême ou du quatriême degré, qui ne peut être réduite à une équation du second, le Problême eft neceffairement Solide, comme on a déja dit ailleurs, & on le pourra toujours conftruire par le moyen de cette équation, en obfervant les régles qui fuivent. 1. Si l'équation a un fecond terme, on le fera premierement évanouir. Cela fait 2. Si l'équation eft du troifiême degré, on la multiplie ra par l'inconnue qu'elle renferme pour la rendre du quatriême.. 3. On formera une équation à la Parabole dont un des membres fera le quarré de la lettre inconnue de l'équation que l'on veut conftruire, & l'autre membre ferat le produit d'une autre lettre inconnue par une lettre connue quelconque, ou plutôt par une des lettres connues qui fe trouve le plus fréquemment dans l'équation à conftruire: car par ce moyen on rend la conftruction un peu plus fimple. 4. On fera évanouir l'inconnue de l'équation à construire dans le premier & dans le troifiême terme : ( car on fuppofe qu'elle n'en a point de fecond) en fubftituant en fa place, fa valeur prife dans l'équation à la Parabole que l'on a formée, & l'équation qui en résultera fera une autre équation à la Parabole. 5. On combinera par addition ou fouftraction ces deux équations à la Parabole, de maniere que l'équation qui en réfulte foit une équation au cercle. 6. On conftruira l'équation au cercle, & la plus fimple des deux équations à la Parabole, comme dans la Section précédente, en fuppofant que les lignes exprimées par les deux inconnues font un angle droit, & les interfections de ces deux courbes donneront les racines, ou valeurs tant pofitives que négatives de l'inconnue de l'équation à conftruire. Tout ceci fera éclairci par les exemples qui fuivent. 7 EXEMPLE I. Problême Solide. TROUVER une ligne dont le cube foit au cube d'une ligne donnée CD, dans la raifon donnée de m à n. Ayant fuppofé le Problême réfolu, & nommé la donnée CD, a; & l'inconnue x, l'on aura par la condition du Problême x3. a' :: m. n, d'où l'on tire x3 ma3 qui est une équation du troifiême degré, qui ne pouvant être réduite à une équation du fecond; il suit que le Problême eft Solide. En multipliant cette équation par x, l'on aura x4 max n & faisant (n°. 3.) ay = xx, qui est une équa 4 tion à la Parabole, l'on a aayy = x; & mettant dans l'équation à construire pour x fa valeur aayy, l'on 4 ou yy= qui est une autre équa n tion à la Parabole. Et combinant ces deux équations à la Parabole par addition ou soustraction, l'on aura yy — max ay n xx, qui eft une équation au cercle dont la construction jointe avec celle de l'équation à la Parabole ay=xx, réfoudra le Problême. Soit le point A l'origine des inconnues y qui va vers G, FIG. 192. &x qui lui eft perpendiculaire. Et foit décrite (Art. 10. no. 11). fur l'axe AG dont le fommet eft A la Parabole AH, dont la parametre foit a CD. Cette Parabole fera celle dont l'équation eft ay=xx. L'équation au cercle étant réduite donnera avec les réductions cette conftruction. Ayant pris fur AG, AI = a CD, on élevera au point I la ligne IK perpendiculaire à AG & égale à & du centre K par A, l'on décrira un cercle qui ma 2n coupera la parabole AH au point M, par où l'on menera la droite MP parallele à IK, je dis que MP exprimée par x, qui eft l'inconnue de l'équation x'=ma que l'on vient de conftruire, eft le côté du cube qu'il faloit trouver. DE'MONSTRATION. x3: 22 AYANT joint AK, & mené KOR parallele à AP qui rencontrera le cercle en R, & PM en O. L'on a par la proprieté du cercle KA', ou KR' — KO'—0M2, ce I mmaa qui est en termes algebriques — aa + —yy+ay— max Xx n Mais à caufe de la Parabole l'on a (Art. 10.) x valeur l'on aura après les réductions ordinaires x'= aa ma3 n C. Q. F. D.. EXEMPLE II. Problême Solide. FIG. 103. 8. DIVISER un arc de cercle BDFC en trois parties égales BD, DF, FC. Ayant fuppofé le Problême réfolu; puifque par l'Hypothese les arcs BD, DF, FC, font égaux, les cordes BD, FD, FC feront auffi égales, & DF fera parallele à BC. Ayant mené les rayons AB, AD, AF, AC, & outre cela la ligne FI parallele à AD; les triangles ADB, ADF, AFC feront égaux, femblables & isofceles, comme auffi les triangles BHD, CKF car l'angle CFK (=KFD=AKH)=CKF. Par la même raifon l'angle BDH= = l'angle BHD ; c'est pourquoi, puisque (Hyp.) CF = DB; CK fera — BH. Mais les triangles ACF, CFK, FKI, font auffi femblables & ifofceles : car à caufe des paralleles AD, IF, l'angle KIF (BHD) =IKF = KFC FCA. En nommant présentement le rayon AC, a; la donnée BC, b, & l'inconnue CF, ou CK, ou IH, ou HB,x; l'on aura AC (a) .CF (x) :: CF ( x ). FK (x). FK (*) :: FK ( ~ ). KI = =, a a aa a & CF donc CI= ; & partant CB=IB+CI = 2x+x d'où l'on tire x3=3aax- aab, qui est une équation du Mettant donc dans l'équation du Problême, pour **, & pour xx, leurs valeurs aayy, & ay; l'on aura après avoir divifé par aa, yy=3ay-bx, qui eft une autre équation à la Parabole. Et en combinant par addition ou foustraction, ces deux équations à la Parabole, l'on aura après la réduction yy4ay—— xx— bx, qui eft une équation au cercle, dont la conftruction jointe avec celle de l'équation à la Parabole ay=xx, réfoudra le Problême. 104. Soit donc le point A l'origine des inconnues y qui va FIG. 103. vers G, & x perpendiculaire à AG qui va vers B, & soit décrite (Art. 10. n°. 11.) fur l'axe AG, dont le fommet foit A, la parabole FAN dont le parametre foit a a(Fig. 103.) AC. Cette Parabole fera celle dont l'équation eft ayxx. L'équation au cercle étant réduite, donnera, avec les réductions, cette construction, Soit prise AI = 2a= =(Fig. 103.) 2AC, & ayant élevé IK perpendiculaire à AG & b— ¦ BC, l'on dé crira du centre K par A, un cercle AMNF qui coupera la Parabole aux points A, M, N, F, parmi lefquels il y en a trois M, N, & F dont on peut tirer des perpendicu laires MP, NO, FE fur l'axe AG de la Parabole, qui font les trois racines de l'inconnue x de l'équation du Problême, deux defquelles PM, & QN font pofitives, & lá troifiême EF, negative, de forte que PM fera la corde du tiers de l'arc BDFC qu'il faloit divifer, & QN, la corde du tiers du refte du cercle BVC. DEMONSTRATIO N. PAR la proprieté de la parabole l'on a (Art. 1o..) ay=xx. Ayant joint KA, & mené le diametre ZKRFIG.104. parallele à AG, l'on aura par la proprieté du cercle KĀ2, ou KR1—KT2=TN', ou KZ'—KX'—XM3, ou en termes algebriques, 4aa + 4 bb — yỳ + 4ay — 4aa = xx + bx + 1 bb, ou 4ay-yyxx + bx; & en remettant pour ay, & pour yy leurs valeurs xx, & aa prises |