Où l'on donne la Méthode de construire les Problémes Solides par le moyen de leurs équations déterminées ; ou ce qui est la même chose, de construire les équations déterminées du troisiéme, & du qua triéme degré.

XXIV

MÉTHODE.

OIT qu'on ait employé deux ou plusieurs lettres inconnues, ou qu'on n'en ait employé qu'une pour réfoudre un Problême, quand on est venu à une équation déterminée du troisième ou du quatriême degré, qui ne peut être réduite à une équation du second, le Problême est necessairement Solide, comme on a déja dit ailleurs, & on le pourra toujours conftruire par le moyen de cette équation, en observant les régles qui fuivent.

1. Si l'équation a un second terme, on le fera premierement évanouir. Cela fait 2. Si l'équation est du troisiême degré, on la multiplie ra par l'inconnue qu'elle renferme pour la rendre du quatriême..

3. On formera une équation à la Parabole dont un des membres sera le quarré de la lettre inconnue de l'équation que l'on veut construire, & l'autre membre fera le produit d'une autre lettre inconnue par une lettre connue quelconque, ou plutôt par une des lettres connues qui se trouve le plus fréquemment dans l'équation à conftruire : car par ce moyen on rend la construction un peu plus fimple.

4. On fera évanouir l'inconnue de l'équation à construire dans le premier & dans le troisième terme : (car on suppose qu'elle n'en a point de second) en substituant en sa place, sa valeur prise dans l'équation à la Parabole que l'on a formée, & l'équation qui en résultera sera une autre équation à la Parabole.

5. On combinera par addition ou soustraction ces deux équations à la Parabole, de maniere que l'équation qui en résulte soit une équation au cercle.

6. On construira l'équation au cercle, & la plus fimple des deux équations à la Parabole, comme dans la Section précédente, en supposant que les lignes exprimées par les deux inconnues font un angle droit, & les interfections de ces deux courbes donneront les racines, ou valeurs tant positives que négatives de l'inconnue de l'équation à construire. Tout ceci sera éclairci par les exemples qui suivent.

7TROUVER une ligne dont le cube soit au cube d'une ligne donnée CD, dans la raison donnée de m à n.

7

Ayant supposé le Problême résolu, & nommé la donnée CD, a; & l'inconnue x, l'on aura par la condition

du Problême x2. ' : : m. n, d'où l'on tire x =

ma3

qui est une équation du troisiême degré, qui ne pouvant être réduite à une équation du second; il suit que le Problême est Solide.

=

En multipliant cette équation par x, l'on aura x4

max

n

& faisant (n°. 3.) ay = xx, qui est une équation à la Parabole, l'on a aayy = x*; & mettant dans l'équation à construire pour x sa valeur aayy, l'on

max

max

4

aura aayy = -, ouyy=一 qui est une autre équa

n

n

la Parabole par addition ou soustraction, l'on aura yy

max

n

ay=
- xx, qui est une équation au cercle dont la
construction jointe avec celle de l'équation à la Parabole
ay=xx, résoudra le Problême.

G.102.

Soit le point A l'origine des inconnues y qui va vers G, FIG. 102 & x qui lui est perpendiculaire. Et soit décrite (Art. 10. no. 11). sur l'axe AG dont le sommet est A la Parabole AH, dont la parametre soit a = CD. Cette Parabole sera celle dont l'équation est ay=xx.

L'équation au cercle étant réduite donnera avec les réductions cette construction.

Ayant pris fur AG, AI=a=CD, on élevera au point I la ligne IK perpendiculaire à AG & égale à

ma 一,

21

& du centre K par A, l'on décrira un cercle qui

coupera la parabole AH au point M, par où l'on menera la droite MP parallele à IK; je dis que MIP exprimée par x, qui est l'inconnue de l'équation xa que l'on vient de construire, est le côté du cube qu'il faloit

trouver.

DEMONSTRATION.

AYANT joint AK, & mené KOR parallele à AP qui rencontrera le cercle en R, & PM en O. L'on a par la proprieté du cercle KA2, ou KR-K0°=0M2, се

I

mmaa

2

qui est en termes algebriques - aa+--yy+ay

I

-aa 4

xx

max

+

mmaa

4nn

qui devient ay - yy =

Mais à cause de la Parabole l'on a (Art. 10.)

4

valeur l'on aura après les réductions ordinaires x

FIG. 103. 8. DIVISER un arc de cercle BDFC en trois parties égales

BD, DF, FC.

Ayant supposé le Problême résolu; puisque par l'Hypothese les arcs BD, DF, FC, font égaux, les cordes BD, FD, FC feront aussi égales, & DF fera parallele à BC. Ayant mené les rayons AB, AD, AF, AC, & outre cela la ligne FI parallele à AD; les triangles ADB, ADF, AFC feront égaux, semblables & ifofceles, comme aussi les triangles BHD, CKF: car l'angle CFK (=KFD=AKH)=CKF. Par la même raison l'angle BDH = l'angle BHD ; c'est pourquoi, puisque (Hyp.) CF = DB ; CK fera = BH. Mais les triangles ACF, CFK, FKI, font aussi semblables & ifofceles : car à cause des paralleles AD, IF, l'angle KIF (=BHD)

=IKF=KFC=FCA.

En nommant présentement le rayon AC, a; la donnée BC, b, & l'inconnue CF, ou CK, ou IH, ou HB,x;

l'on aura AC (a). CF (x) :: CF(x).FK=

XX

a

& CF

(x). FK () :: FK(). KI ==, donc CI =

一,
aa

; & partant CB=IB+CI= 2x + x

aa

=6;

d'où l'on tire x3 =3aax - aab, qui est une équation du troisiême degré, & qui ne pouvant être réduite à une équa tion du second, fait connoître que le Problême est solide.

Pour le construire, foit premierement l'équation précédente multipliée par fon inconnue x, & l'on aura x =

zaaxx-aabx ; & ayant fait ay=xx c, l'on aura aayy=x*.

Mettant donc dans l'équation du Problême, pour xt, &
pour xx, leurs valeurs aayy, & ay; l'on aura après avoir
divisé par aa, yy=3ay-bx, qui est une autre équation
à la Parabole. Ét en combinant par addition ou soustra-
ction, ces deux équations à la Parabole, l'on aura après
la réduction yy
xx-bx, qui est une équation
au cercle, dont la construction jointe avec celle de l'équa-
tion à la Parabole ay=xx, =xx, réfoudra le Problême.

-4ay=

104.

Soit donc le point A l'origine des inconnues y qui va FIG. 103. vers G, & x perpendiculaire à AG qui va vers B, & foit décrite (Art. 10.19. 11.) sur l'axe AG, dont le sommet foit A, la parabole FAN dont le parametre soit a=(Fig. 103.) AC. Čette Parabole sera celle dont l'équation est ay = xx. L'équation au cercle étant réduite, donnera, avec les réductions, cette construction,

Soit prise AI = 2a=(Fig. 103.) 2AC, & ayant élevé....... IK perpendiculaire à AG &=b= BC, l'on dé crira du centre K par A, un cercle AMNF qui coupera la Parabole aux points A, M, N, F, parmi lesquels il y en a trois M, N, & F dont on peut tirer des perpendiculaires MP, NQ, FE fur l'axe AG de la Parabole, qui font les trois racines de l'inconnue & de l'équation du Problême, deux desquelles PM, & QN font positives, & la troisiême EF, negative, de forte que PM sera la corde du tiers de l'arc BDFC qu'il faloit diviser; & QN, la corde du tiers du reste du cercle BVC.

DEMONSTRATION.

PAR la proprieté de la parabole l'on a (Art. 10.) ay=xx. Ayant joint KA, & mené le diametre ZKR FIG.104. parallele à AG; l'on aura par la proprieté du cercle KA2, ou KR-KT=TN2, ou KZ-KX'=XM2, ou en termes algebriques, 4aa4bb-yy+4ay xx+bx+bb, ou 4ay-yy = xx + bx; & en remettant pour ay, & pour yy leurs valeurs xx, & - prises

aa

4aa=