i : a b litterale, comme On peut de même combiner deux des équations précedentes prises à volonté, & ensuite celles qui résultent de ces combinaisons, ce qui donnera une infinité d'équations aux Sections coniques, de l'une desquelles on pourra se servir avec l'équation au cercle. 15. On tirera de la même maniere d'une équation du quatriême degré qui n'a point de second terme, des équations aux Sections coniques, & une au cercle : mais on n'en trouvera point à l'Hyperbole par raport à ses asymptotes: où l'on remarquera que si l'on tiroit deux équations au cercle d'une équation du troisiême ou du quatriême degré, le Problême seroit Plan, & l'équation se pourroit réduire à une équation du second degré. 16. On peut encore construire les Problêmes solides avec l'équation au cercle, & telle Section conique qu'on voudra, comme on peut voir dans le Traité de la ConstruAion des Equations de Mr. de la Hire, dont on a suivi ici la Méthode. 17. On multiplie les équations du troisiême degré par leur inconnue, pour en tirer une équation à la Parabole, differente de celle que l'on forme arbitrairement pour introduire dans l'équation déterminée afin d'en tirer des équations indéterminées : mais cela n'y apporte aucun changement : car les Problêmes du troisiême & du quatriême degré sont de même nature ; & même leurs constructions ne different qu'en ce que les deux Courbes qu'on y employe passent par l'origine de l'inconnue de l'équation, quand elle est du troisiême degré, & qu'elles n'y paf sent pas quand elle est du quatrième. Où l'on donne la Méthode de résoudre & de construire les Problémes indéterminez dont les Equations excedent le second degré : ou ce qui est la méme chose, de décrire les courbes dont ces Equations expriment la nature ; & de résoudre & de construire les Problémes déterminez, dont les Equations excedent le quatriéme degré. XXV. MÉTHODE. Na donné des régles dans la cinquiême, fixiême & feptième Section pour décrire les courbes du premier genre d'une maniere plus simple que celles qu'on tireroit naturellement de leurs équations : mais on n'en peut pas donner pour décrire celles des genres plus composez. Il faudroit pour cela les avoir examinées les unes après les autres; ce qui iroit à l'infini: car chaque genre en contient un nombre d'autant plus grand qu'il est plus composé, & il y a une infinité de genres. 1. On dira seulement en general qu'après avoir trouvé une équation pour chaque Problême (en obfervant pour nommer les lignes inconnues, ce qui est prescrit dans la premiere ou septiême Observation de l'Art. 4.), qui exprime la nature de la Courbe qui doit fervir à le résoudre, qui en détermine le genre, & qui soit réduite à fon expression la plus simple; il faut examiner par l'inspection des termes de l'équation, celle des deux inconnues dont on peut plus facilement trouver les valeurs en suivant les régles de la construction des équations déterminées, trouver par les mêmes régles les valeurs de cette inconnue, en assignant à l'autre inconnue une va leur déterminée, & arbitraire; & l'on aura à chaque fois qu'on affignera à cette inconnue des valeurs arbitraires, autant de points de la courbe qu'on veut décrire, que l'autre inconnue aura de valeurs réelles, positives, & négatives. De forte que si l'inconnue la moins élevée de l'equation, fi elles ne le font pas toutes deux également, a une ou deux dimensions, on en trouvera les valeurs par les régles de la Section II, en assignant à l'autre inconnue des valeurs arbitraires, & la regardant ensuite comme déterminée. Si elle a trois ou quatre dimensions, on en trouvera les valeurs par les régles de la Section précedente ; & fi elle a un plus grand nombre de dimensions, on en trouvera les valeurs comme on expliquera dans la suite: mais comme l'on en pourra plus tirer l'équation au cercle, il ne sera point necessaire d'en faire évanouir le second terr terme, s'il s'y rencontre : où l'on remarquera qu'il faut réïtérer la construction autant de fois qu'on assignera des valeurs differentes à l'inconnue que l'on prend pour constante. 2. On peut aussi, après avoir trouvé une équation comme on vient de dire, abandonner la premiere & septiême Observations de l'Art. 4, & nommer d'autres lignes par des lettres inconnues, & chercher par ce moyen d'au tres équations, qui n'exprimeront pas effectivement la na ture de la courbe qui doit réfoudre le Problême, & qui n'en détermineront pas le genre: mais qui pourront fervir à décrire plus simplement la même courbe, foit par elles-mêmes, ou en faisant évanouir par leur moyen les inconnues de la premiere équation, afin de la rendre plus simple, & d'en tirer plus facilement la maniere de décrire la même courbe. 3. On peut encore tirer de l'équation qui exprime la nature de la courbe qui doit résoudre un Problême, des équations à quelqu'une des quatre courbes du premier genre, lorsqu'on y trouve l'expreffion de, l'appliquée de quelqu'une des quatre mêmes courbes, en égalant cette expression à une troisiême lettre inconnue, ou à fon quarré, & la construction de ces équations facilitera la defcription de la courbe qu'on veut décrire. Tout ceci se trouvera pratiqué dans les exemples qui suivent. FIG. 105. 4.UN demi cercle AFB, dont le diametre eft AB, & le cen tre C, étant donné, ayant mené par un point quelconque P du diametre AB, la droite PK perpendiculaire à AB, qui rencontre la circonference AFB en K. Il faut trouver fur PK le point M. qui la divise en forte que AP. PM :: PB. PK. Et comme il y a une infinité de points comme M, il faut trouver la courbe fur laquelle ils se trouvent tous. Ayant suppose le Problême résolu ; & nommé le diametre AB, a ; & les indéterminées AP, x; PM, y; PB sera, a-x; & par la proprieté du cercle PK sera Vax-xx, & l'on aura par les qualitez du Problême, ay - xy AP(x). PM(y) :: PB (a – x). PK = 1 l'on vient de trouver, y=+ en multipliant les deux termes de la fraction par √x, ce qui ne change ni le degré de l'équation, ni le genre de la courbe, d'où l'on voit que la courbe passe des deux côtez de l'axe AB par les points M, & m, & que la partie Am est égale & semblable à la partie AM, puisque Pm=PM. 4 Si l'on fait x=0, le point IP tombera en A, les termes où x se rencontrent feront nuls, & l'on aura par consequent y=0, d'où l'on connoît que la courbe rencontre fon axe au point A, puisque AP & PM s'y aneantiffent, & qu'elle ne rencontre qu'en A la parallele à PK menée par A: car fi elle la rencontroit encore en quelqu'autre point, l'on trouveroit une valeur de y qui le détermine roit. Si l'on fait y=0, l'on aura aussi x = 0, qui montre que la courbe ne rencontre son axe AB qu'au seul point A; & comme elle ne rencontre aussi la parallele à PK, menée par A qu'au seul point A; il suit qu'elle est toute du côté de B par raport à cette parallele. Puisque par l'Hypothese PB. PK :: AP. PM, il est clair que la courbe AM touche son axe au point A: car le point P étant infiniment proche de A, les points K. & Men feront aussi infiniment proches; & parcequ'alors PB furpassera pour ainsi dire infiniment PK; AP furpassera aussi pour ainsi dire infiniment PM; d'où il suit que la petite partie AM de la courbe sera pour ainsi dire dans la direction de son axe AB, qu'elle touche & coupe par conféquent au point A. L'on voit encore par la même équation que x croissant, y croît aussi, même en deux manieres: car le numérateur xx du membre fractionnaire croissant, le dénominateur Vax - xx diminue. Si l'on augmente x jusqu'à ce qu'elle devienne =a, le point P tombera en B, & l'équation deviendra y = aa 이 aa & comme ce raport - est plus grand que tout raport donné, c'est-à-dire, infiniment grand; il suit que si l'on mene par B une ligne BH parallele à PM, cette parallele ne rencontrera la courbe qu'à une distance infinie, ou, ce qui est la même chofe, qu'elle lui fera asymptote. L'on voit aussi qu'on ne peut pas augmenter x en forte qu'elle furpasse AB: car le dénominateur de la Ee |