tes ou courbes, qui fervent à les réfoudre, ont de points communs ou d'interfections; & fi ces deux lignes ne fe rencontrent point, le Problême fera impoffible.

On pourroit auffi fe fervir de l'équation à l'Hyperbole xy=aa, au lieu de l'équation à la Parabole ay=xx, pour tirer des équations indéterminées des équations déterminées, du troifiême & du quatriême degré, & de l'équation à l'Hyperbole cubique xxya', au lieu de l'équation à la Parabole cubique aay=x', pour construire les Problêmes déterminez dont les équations excédent le quatrième degré. Enfin les Problêmes déterminez conftruits de la maniere que nous avons propofée, feront toujours conftruits avec les courbes les plus fimples qu'ils le puiffent être.

16. Pour décrire les courbes du premier genre, on a réduit leurs équations à un certain état : on n'a point fait la même chofe pour décrire celles des genres plus compofez, parcequ'il y en a une trop grande quantité dans chaque genre. Il peut neanmoins arriver qu'en changeant l'origine, ou la position de leurs axes, ou ce qui revient au même, de leurs coordonnées, les équations en deviendront plus fimples; & par conféquent auffi leur construction. Or ces changemens fe font de la même maniere que ceux qui fe font par les réductions, comme on a vû dans toute l'étendue de la Section huitiême, en égalant une de leurs inconnues + ou - une quantité connue à une nouvelle inconnue, & fubftituant dans l'équa, tion la valeur de l'inconnue que l'on en veut faire évanouir, ce qui donnera une équation dont la forme sera differente de la premiere. On peut faire la même chofe fur l'autre inconnue.

On peut encore non-feulement changer l'origine des coordonnées : mais on peut auffi changer l'angle qu'elles font entr'elles, & leur faire faire tel angle qu'on voudra, comme l'on a fait en plufieurs endroits de la même Section huitiême.

Des Courbes méchaniques, ou transcendentes, de leur defcription, & des Problêmes qu'on peut

construire par

leur moyen.

XXVI. OUTES les Courbes geométriques rentrent en elles mêmes, ou s'étendent à l'infini; de maniere que leurs axes, ou leurs coordonnées les rencontrent en un nombre déterminé de points, ce qui fait que les lettres indéterminées des équations qui en expriment la nature, ou, ce qui eft la même chofe, qui expriment la relation que leurs coordonnées ont entr'elles ont un nombre déterminé de dimenfions, & qu'on peut par conféquent trouver tous les points de ces Courbes geométriquement, c'est-à-dire, par l'interfection de deux lignes geométriques droites, ou courbes.

Toutes les Courbes méchaniques rentrent auffi en ellesmêmes, ou s'étendent à l'infini: mais on ne peut point trouver d'équations qui expriment geométriquement la relation de leurs coordonnées : car il y a des Courbes méchaniques dont une des coordonnées eft une ligne droite, & l'autre une ligne courbe dont la rectification eft geométriquement impoffible. Il y en a d'autres dont les coordonnées font deux lignes courbes; d'autres dont les appliquées partent toutes d'un même point, & d'autres qui font figurées de maniere que leurs axes les rencontrent en une infinité de points, d'où il fuit qu'afin qu'une équation en pût exprimer la nature; il faudroit qu'au moins une de fes inconnues eût une infinité de dimentions, ce qui eft impoffible; & c'eft pour cela que ces Courbes font auffi nommées tranfcendentes.

Il fuit de tout ceci que l'on ne peut geométriquement trouver tous les points des Courbes méchaniques, puifque leurs équations n'en expriment que méchaniquement ja nature.

Gg iij

Il y a même des Courbes méchaniques dont on ne connoît que certaines proprietez, d'où l'on ne peut tirer d'équations en termes finis. Il faut alors avoir recours à l'infini, en regardant les Courbes comme des Polygones d'une infinité de côtez, & en comparant les cotez d'un triangle infiniment petit, formé par une petite portion de la Courbe comprife entre deux appliquées infiniment proches, par la difference de ces deux appliquées ; & par la diftance de l'une à l'autre, & que l'on regarde comme un triangle rectiligne, aux côtez d'un grand triangle formé par la tangente, ou la perpendiculaire, par l'appliquée, & par la foûtangente, ou par la fouperpendiculaire, & les équations que l'on tire de la comparaifon des côtez de ces deux triangles, font nommées équations différentielles; parce que les côtez du petit triangle font les différences de la Courbe, des deux appliquées infiniment proches, & des deux abfciffes qui correfpondent à ces deux appliquées.

On n'entreprend point ici de donner une Theorie complete des Courbes méchaniques; mais plutôt une fimple explication de celles qui fe rencontrent le plus ordinairement dans les Ouvrages des Geometres, & particulie rement dans.l'excellent Livre de l'Analyfe des Infiniment Petits de feu Monfieur le Marquis de l'Hopital, où il fuppofe que fon Lecteur connoiffe toutes les Courbes dont il explique les plus belles proprietez.

FIG. 113. 1.

PROPOSITION I.

1.SOIT un cercle ABP, dont le centre eft C, & un rayon CA. Si l'on conçoit que le rayon CA fasse un tour entier autour de fon extrêmité immobile C, de maniere que le point A fe meuve uniformement fur la circonférence de A par B en A, pendant qu'un point mobile parcourera auffi d'un mouvement uniforme, le rayon CA allant de C en A; ce point décrira par la compofition de ces deux mouvemens une Courbe CDMA, qui aura cette proprieté dans toutes les fituations de AC, par

exemple en celle de CP, que la circonference entiere ABA fera à fa partie ABP: comme CA ou CP à CM, ou (ayant nommé CA, a; ABA, c ; ABP, x; CM, y ;) c.xa.y, d'où l'on tire ax=cy.

Si l'on fuppofe que le rayon CA faffe encore un, ou plufieurs tours, le point décrivant parcourera pendant chaque tour, fur CA prolongée, des parties comme AE égales à CA, & la courbe fera autant de tours autour d'elle-même, que CA en aura fait ; & comme on peut fuppofer que le rayon CA faffe une infinité de tours; il fuit que la Courbe peut le rencontrer en une infinité de points; & que par conféquent elle eft méchanique, ou tranfcendente.

Archimede Auteur de cette Courbe l'a nommée Spirale. Pour la décrire, ayant divisé la circonférence ABA, & le demi diametre CA en un nombre égal de parties égales, & mené CP à quelqu'une des divifions, on portera de C en M autant de parties de CA, que ABP en contient, ou de P en M, autant de parties de CA que AFP en contient; & de l'une ou de l'autre maniere le point M fera à la Courbe CDM: car l'on aura toujours ABA. ABP: CA. CM, ou ABA. AFP: CA. PM. On décrira de même le 2e tour, en portant fur le prolongement de CP autant de parties de CA que ABP en contient, & ainfi des autres, en décrivant pour chaque tour un cercle dont le rayon foit double, triple, &c. du rayon CA.

Si l'on fuppofe que le rayon CA, & le point décrivant, fe meuvent avec des viteffes qui foient en telle raison qu'on voudra, c'est-à-dire, que ces viteffes foient telles que l'on ait toujours ABA". ABP" :: CA". CPa, ou cTM. x :: a". y", d'où l'on tirera a"x"="y", qui eft une équation pour toutes les Spirales à l'infini.

m

n

Ce feroit la même chofe fi le rayon AC tournoit autour du point C d'un fens contraire, de A par F vers P, pendant que le point mobile defcendroit de A vers C, en fuppofant les viteffes telles qu'on les vient de supposer:

car nommant AFP, x; & PM, y; l'on auroit encore

Si m & n fignifient des nombres pofitifs, les spirales seront nommées paraboliques; & fi l'une des deux fignifie un nombre négatif, elles feront nommées hyperboliques; parceque fic & x exprimoient des lignes droites auffi-bien que a &y, ces équations appartiendroient à la Parabole dans le premier cas, à l'Hyperbole dans le fecond. Par exemple, fi m=1, & n=2, =2, l'on aura aax= &n= =-1, l'on aura xy =ac. Si m = 2 &n= l'on aura xxy acc, &c. L'on décrira ces Courbes comme fi elles étoient geométriques, en fuppofant la quadrature du cercle.

= =

PROPOSITION II.

,

cyy.

Si m

le rayon

FIG. 114. 2. SOIT un quart du cercle ADB, dont le centre est C, & les rayons CA & CB. Si l'on conçoit que CA se meuve uniformement autour du centre C, jufqu'à ce qu'il arrive en CB, & que pendant ce temps-là une perpendiculaire PM au rayon CA, partant du point A, parcourre auffi uniformement le rayon AC, en demeurant parallele à CB; l'intersection M du rayon CA qui devient CD, & de la perpendiculaire PM, décrira une courbe AME, qui fera telle que ADB . AD:: AC. AP. Dioclés, fon Auteur, l'a nommée Quadratrice.

FIG. 115.

FIG. 114.

3. Si le rayon AC au lieu de fe mouvoir autour du centre C, fe mouvoit parallele à lui-même, de forte qu'étant parvenu dans une fituation quelconque DF, l'on ait toujours ADB. AD :: AC. AP; l'interfection M de la parallele DF avec la perpendiculaire PM, décriroit la Courbe AMB, que Monfieur Tchirnhaufen a auffi nommée Quadratrice.

Si l'on nomme AC, a; ADB, c; AD, x ; AP, y; l'on 115. aura c.x:: a.y; donc ax=cy, pour l'équation commune à ces deux courbes.

PROPOSITION