tes ou courbes, qui servent à les réfoudre, ont de points communs ou d'interfections; & fi ces deux lignes ne se rencontrent point, le Problême sera impoffible. On pourroit aufsi se servir de l'équation à l'Hyperbole xy = aa, au lieu de l'équation à la Parabole ay = xx, pour tirer des équations indéterminées des équations déterminées, du troisième & du quatrième degré, & de l'équation à l'Hyperbole cubique xxy = a3, au lieu de l'équation à la Parabole cubique aay=x3, pour construire les Problêmes déterminez dont les équations excédent le quatrième degré. Enfin les Problêmes déterminez construits de la maniere que nous avons proposée, feront toujours construits avec les courbes les plus simples qu'ils le puissent être. 16. Pour décrire les courbes du premier genre, on a réduit leurs équations à un certain état : on n'a point fait la même chose pour décrire celles des genres plus composez, parcequ'il y en a une trop grande quantité dans chaque genre. Il peut neanmoins arriver qu'en changeant l'origine, ou la position de leurs axes ou ce qui revient au même, de leurs coordonnées, les équations en deviendront plus simples ; & par conséquent aussi leur construction. Or ces changemens se font de la même maniere que ceux qui se font par les réductions, comme on a vû dans toute l'étendue de la Section huitiême, en égalant une de leurs inconnues + ou - une quantité connue à une nouvelle inconnue, & fubstituant dans l'équa. tion la valeur de l'inconnue que l'on en veut faire éva nouir, ce qui donnera une équation dont la forme sera differente de la premiere. On peut faire la même chose fur l'autre inconnue. On peut encore non-feulement changer l'origine des coordonnées : mais on peut aussi changer l'angle qu'elles font entr'elles, & leur faire faire tel angle qu'on voudra, comme l'on a fait en plusieurs endroits de la même Section huitième. SECTION XII. Des Courbes méchaniques, ou transcendentes, de leur description, & des Problémes qu'on peut construire par leur moyen. XXVI. OUTES les Courbes geométriques ren T trent en elles-mêmes, ou s'étendent à l'in fini; de maniere que leurs axes, ou leurs coordonnées les rencontrent en un nombre déterminé de points, ce qui fait que les lettres indéterminées des équations qui en expriment la nature, ou, ce qui est la même chose, qui expriment la relation que leurs coordonnées ont entr'elles, ont un nombre déterminé de dimensions, & qu'on peut par conféquent trouver tous les points de ces Courbes geométriquement, c'est-à-dire, par l'interfection de deux lignes geométriques droites, ou courbes. Toutes les Courbes méchaniques rentrent aussi en ellesmêmes, ou s'étendent à l'infini: mais on ne peut point trouver d'équations qui expriment geométriquement la relation de leurs coordonnées : car il y a des Courbes méchaniques dont une des coordonnées est une ligne droite, & l'autre une ligne courbe dont la rectification eft geométriquement impossible. Il y en a d'autres dont les coordonnées sont deux lignes courbes; d'autres dont les appliquées partent toutes d'un même point, & d'autres qui font figurées de maniere que leurs axes les rencontrent en une infinité de points; d'où il suit qu'afin qu'une équation en pût exprimer la nature; il faudroit qu'au moins une de ses inconnues eût une infinité de dimenfions, ce qui est impossible ; & c'est pour cela que ces Courbes sont aussi nommées transcendentes. Il suit de tout ceci que l'on ne peut geométriquement trouver tous les points des Courbes mechaniques, puifque leurs équations n'en expriment que méchaniquement ja nature. Ggiij Il y a même des Courbes méchaniques dont on ne connoît que certaines proprietez, d'où l'on ne peut tirer d'équations en termes finis. Il faut alors avoir recours à l'infini, en regardant les Courbes comme des Polygones d'une infinité de côtez, & en comparant les cotez d'un triangle infiniment petit, formé par une petite portion de la Courbe comprise entre deux appliquées infiniment proches, par la difference de ces deux appliquées ; & par la distance de l'une à l'autre, & que l'on regarde comme un triangle rectiligne aux côtez d'un grand triangle formé par la tangente, ou la perpendiculaire, par l'appliquée, & par la foûtangente, ou par la foûperpendiculaire, & les équations que l'on tire de la comparaison des côtez de ces deux triangles, font nommées équations différentielles; parce que les côtez du petit triangle font les différences de la Courbe, des deux appliquées infiniment proches, & des deux abscisses qui correfpondent à ces deux appliquées. On n'entreprend point ici de donner une Theorie complete des Courbes mechaniques; mais plutôt une fimple explication de celles qui se rencontrent le plus ordinairement dans les Ouvrages des Geometres, & particulierement dans.l'excellent Livre de l'Analyse des İnfiniment Petits de feu Monsicur le Marquis de l'Hopital, où il suppose que fon Lecteur connoiffe toutes les Courbes dont il : explique les plus belles proprietez.:: PROPOSITION I. 1. SO IT un FIG. 113. I. cercle ABP, dont le centre eft C, & un rayon CA. Si l'on conçoit que le rayon CA fasse un tour entier autour de son extrêmité immobile C, de maniere que le point A se meuve uniformement sur la circonférence de A par B en A, pendant qu'un point mobile parcourera auffi d'un mouvement uniforme, le rayon CA allant de C en A; ce point décrira par la compofition de ces deux mouvemens, une Courbe CDMA, qui aura cette proprieté dans toutes les situations de AC, par : 4 ! exemple en celle de CP, que la circonference entiere Si l'on suppose que le rayon CA fasse encore un, ou Archimede Auteur de cette Courbe l'a nommée Spirale. Pour la décrire, ayant divisé la circonférence ABA, & le demi diametre CA en un nombre égal de parties égales, & mené CP à quelqu'une des divisions, on portera de Cen M autant de parties de CA, que ABP en contient, ou de Pen M, autant de parties de CA que AFP en contient; & de l'une ou de l'autre maniere le point M sera à la Courbe CDM : car l'on aura toujours ABA. ABP :: CA .CM, ou ABA.AFP :: CA. PM. On décrira de même le 2e tour, en portant sur le prolongement de CP autant de parties de CA que ABP en contient, & ainsi des autres, en décrivant pour chaque tour un cercle dont le rayon soit double, triple, &c. du rayon CA. Si l'on suppose que le rayon CA, & le point décrivant, se meuvent avec des vitesses qui soient en telle raison qu'on voudra, c'est-à-dire, que ces vitesses soient telles que l'on ait toujours ABA". ABPTM :: CA" . CP, ou cm. m n m 11 xTM :: a. y", d'où l'on tirera a" x= "=cy", qui est une Ce feroit la même chose si le rayon AC tournoit au- 1 car nommant AFP, x; & PM, y; l'on auroit encore cm. x :: a". y", ou a" x" = "y", qui est l'équation précédente. m m Si m & n fignifient des nombres positifs, les spirales feront nommées paraboliques ; & fi l'une des deux signifie un nombre négatif, elles feront nommées hyperboliques; parceque fi c & x exprimoient des lignes droites auffi-bien que a & y, ces équations appartiendroient à la Parabole dans le premier cas, à l'Hyperbole dans le second. Par exemple, fi m=1, & n= 2 l'on aura aax= cyy. Si m =1, & n = - 1, l'on aura xy = ac. Si m = 2, & n = , l'on aura xxy = acc, &c. L'on décrira ces Courbes comme fi elles étoient geométriques, en supposant la quadrature du cercle. - I FIG. 114. 2. SO IT : IT un quart du cercle ADB, dont le centre est C, & les rayons CA & CB. Si l'on conçoit que le rayon CA se meuve uniformement autour du centre C, jusqu'à ce qu'il arrive en CB, & que pendant ce temps-là une perpendiculaire PM au rayon CA, partant du point A, parcourre aussi uniformement le rayon AC, en demeurant parallele à CB; l'interfection M du rayon CA qui devient CD, & de la perpendiculaire PM, décrira une courbe AME, qui sera telle que ADB . AD: : AC. AP. Dioclés, fon Auteur, l'a nommée Quadratrice. FIG. 115. 3. Si le rayon AC au lieu de se mouvoir autour du centre C, se mouvoit parallele à lui-même, de forte qu'étant parvenu dans une situation quelconque DF, l'on ait toujours ADB . AD :: AC . AP ; l'interfection M de la parallele DF avec la perpendiculaire PM, décriroit la Courbe AMB, que Monsicur Tchirnhausen a aussi nommée Quadratrice. FIG. 114. Si l'on nomme AC, a; ADB, c; AD, x ; AP, y; l'on 115. aura c. x :: a.y; donc ax=cy, pour l'équation commune à ces deux courbes. PROPOSITION |