souvent avec beaucoup de difficulté, de certaines courbes préferablement à d'autres qui se prefentent naturellement, & dont la defcription est souvent très-simple: en quoi je voudrois que les courbes fussent préferées, fans avoir • égard à leur genre, de la maniere qu'on le détermine ordinairement.

AVERTISSEMENT.

Lorsqu'on fçait qu'un Problème est simple, ou plan, il n'est point necessaire d'avoir égard à la premiere Observation, ni d'employer deux lettres inconnues pour le refoudre. Il y a aussi des Problèmes si simples, qu'il n'y a aucune difficulté, ni pour nommer les lignes, ni pour trouver des équations.

Tout ce qu'on a dit dans cette premiere Section sera éclairci par toute la suite de cet Ouvrage, qui n'en est que l'Application, & un Commentaire.

SECTION II.

Où l'on donne la maniere d'exprimer Geometriquement les quantitez Algebriques, & de refoudre les Problémes fimples, t) plans; ou ce qui est la même chose, de construire les équations déterminées du premier & du second degré.

V. N peut exprimer Geometriquement toutes les quantitez Algebriques, par le moyen des quatre operations suivantes, qui sont de trouver des troisiêmes, quatrièmes & moyennes proportionnelles, & de tirer les racines de la somme, ou de la difference de deux ou de plusieurs quarrez.

ab

1. Pour exprimer Geometriquement ; ayant mené FIG. 3. une ligne droite AH, dont l'extrémité A soit fixe, fait AB=1, AD=a, mené BC=b, qui fasse avec AB un

angle quelconque ABC, s'il n'est pas déterminé d'ailleurs,

ab

& mené ACG; la ligne DE parallele à BC sera -: car

à cause des paralleles BC, DE, l'on aura AB (c). AD

ab

(a):: BC (b). DE =-. Ce seroit la même chose s'il

qu'à faire BC=AD=a, après avoir fait AB=c; où l'on remarquera que toute quantité fractionnaire peut êtrè regardée comme le quatrième terme d'une proportion, qui renferme les trois autres, & dont le dénominateur eft le premier.

De même pour exprimer Geometriquement

aa+ab

c+d

aa + ab

c+d

en réduisant en proportion l'on a c+d. a+b:: a. Faisant donc AB=c+d, AD=a+b, BC=a; DE

aa+ab
c+d

Ce sera la même chose

parallele à BC, sera =
si l'on veut exprimer Geometriquement

aa

C

bb
: car en
aa-bb

réduisant en proportion l'on a .c.a+b::a-b.

Semblablement, pour exprimer Geometriquement

aa

C

aab

cd

aa

qui contient deux proportions, c. a :: a. -, & d. b.

› l'on exprimera d'abord, comme on vient de voir

C

pour les quantitez précedentes, & ensuite enfuite aab

ainsi des autres quantitez fractionnaires.

cd

۱۰

Il en eft

2. Pour exprimer Geometriquement Vab. Il faut pren

FIG. 10. dre sur une ligne droite AH, AD=a,& DB=b,& ayant décrit un demi cercle sur le diametre AB; la ligne DE perpendiculaire au point D, sera égale à Vab: car nommant DE, x; l'on aura a ( AD). x (DE) :: x (DE). b (DB); donc xx=ab, & x= Vab. De même pour exprimer Vaa+ab, on voit que aa+ab, est la produite de a+b; par a. Ainsi ayant fait AD=a+b, & DE =a; DE, sera Vaa+ab.

Semblablement, pour exprimer Vaa-bb; puisque aa - bb, est le produit de a + b par a-b, en faisant AD=a+b, & DB=a—b; DE sera Vaa-bb. On peut encore exprimer autrement cette quantité, comme on va voir no. 3.

mc

m

Pour exprimer - Vaa - bb; ayant trouvé, comme on vient de faire DE=Vaa-bb, & l'ayant nommée; c, l'on aura au lieu de - vaa-bb, & l'on trouvera (no. 1.) FIG. 3. DE=- faisant AB=n, BC=m, & AD=c.

aa+bb

mc

n

n

د

m

3. Pour exprimer Geometriquement Vaa+bb. Puisque est la somme de deux quarrez, il est clair que FIG. 11. si l'on décrit un triangle ABC rectangle en B, un de ses côtez AB étant nommé a, & l'autre BC, 6; l'hypothenuse AC fera =√aa+bb. Il ne seroit pas plus difficile d'exprimer la racine de la somme de plusieurs quarrez, comme Vaa+bb+cc, &c.

Pour exprimer Geometriquement Vaa-bb, qui est la difference de deux quarrez; il est évident qu'ayant décrit -un triangle rectangle dont l'hypothenuse soit = a racine du quarré positif, & un des côtez = b racine du quarré negatif, l'autre côté sera=vaa - bb. Ce qui se fait en F16.12. cette forte; foit décrit sur le diametre AB=a, le demi cercle ACB, & foit infcrit dans le demi cercle de la ligne AC=b, & mené CB; l'angle ACB, étant droit à cause

:

cause du demi cercle; CB sera = Vaa-bb. La même chose s'execute encore en la maniere suivante. Soit dé. FIG. 13. crit un demi cercle sur le diametre AB=2a, élevée au centre C la perpendiculaire CH, prise CG = b racine du quarré negatif, menées EF, & FD paralleles à AB, & à HC, & mené le rayon CF; GF ou CD fera=Vaa-bb; puisque CF =a, & CG, ou DF = b. Cette derniere maniere convient mieux à la construction des équations que la précedente.

4. Il y a des quantitez Algebriques plus composées que celles dont on vient de parler (no. 1, 2, 3 ;) & que l'on ne peut exprimer geometriquement, qu'après y avoir fait certains changemens. Or ces changemens confiftent particulierement à mettre l'expression Algebrique d'un quarré en la place de l'expression Algebrique d'un rectangle, ou de mettre l'expression Algebrique d'un rectangle dont un côté soit donné en la place d'un autre rectangle, ou d'un quarré. Ainsi pour exprimer geometriquement

rateur n'est point le produit de deux quantitez que l'on puisse séparer par la division, & qui ne peut par confequent être réduite en analogie; il faut donc changer le quarré Algebrique bb, en un rectangle dont un côté soit a, & le rectangle Algebrique cd, en un autre rectangle Algebrique, dont un côté soit aussi a, afin que la lettre a se trouve dans tous les termes. Soit pour ce sujetx, le côté du rectangle qui doit être égal à bb, dont l'autre côté est la ligne donnée, exprimée par a; l'on aura, fe

bb

lon les termes de la question, ax = bb; donc x=

a

bb

ز

a

ayant donc (no. 1.) exprimé geometriquement ; & l'ayant nommée f; l'on aura f= x; & partant af = bb. Soit femblablement y le côté du rectangle qui doit être égal à cd, dont l'autre côté est la même donnée a; l'on

E

(

cd

a

aura ay=cd; donc y = -: fion de

cd

a

& ayant nommé gl'expref

aa+af-ag b

trouvée (no. 1.); l'on aura ag=cd; la quantité precedente sera donc changée en celle-ci, en mettant pour bb, & pour cd, leurs valeurs af, & ag que l'on vient de trouver, qui est facile à exprimer; puifqu'on la peut à present réduire en l'analogie suivante b.

aa+f-g.

aa+af-ag
b

On auroit pû changer le quarré

aa, & le rectangle cd, au lieu que l'on a changé bb, & cd.

5.Pour exprimer la quantité Vaa - bc, il faut changer le quarré aa en un rectangle, dont un côté soit bou c; ou bien le rectangle be en un autre, dont un côté soit a; & on en aura ensuite facilement l'expression geometrique (no. 2.) Il en est ainsi des autres.

6. Les manieres dont nous venons de nous servir pour exprimer geometriquement les quantitez Algebriques font generales: on les peut souvent abreger par le moyen de quelques lignes menées paralleles à quelques autres lignes données de position, ou en décrivant quelques cercles, selon que l'indique la figure de chaque Problême que l'on construit : mais comme ces manieres sont particulieres, on n'en peut rien dire ici, cela dépend du genie du Geometre, qui veut réfoudre & construire les Problêmes le plus élegamment qu'il lui est possible. On les trouvera pratiquées dans plusieurs exemples.