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les perpendiculaires, comme BH font moyennes proportionnelles entre AH & HC en quelqu'endroit que l'on prenne le point B.

DEFINITIO N.

6 LES lignes droites ou courbes qui renferment, ou sur lefquelles font tous les points qui refolvent un Problême indéterminé, sont appellez lieux Geometriques. Ainsi la demi circonference ABC eft le lieu qui contient tous les FIG. 2. points B, d'où l'on peut tirer des perpendiculaires BH moyennes proportionnelles entre AH, & HC.

AVERTISSEMENT.

7. Quoique l'on fe propofe ici de donner la maniere de démontrer les Theorèmes de Geometrie par le moyen de l'Algebre; il ne faut pas entendre cela fi generalement qu'il n'y en ait quelques-uns d'exceptez: car il y en a d'Elementaires où l' Algebre n'a point de prife. On ne peut, par exemple, démontrer par Algebre que les cotez homologues des triangles femblables font proportionnels. Il en eft de même de plufieurs autres ; & c'est particulierement de ces deux Theorèmes que l' Algebre a befoin, & par le moyen defquels defquels on vient à bout de tout, comme on verra dans toute l'étendue de cet Ouvrage. Soit qu'il s'agiffe de refoudre un Probleme, ou de démontrer un Thearème de Geometrie par le moyen de l'Algebre, il est toujours necessaire de trouver des équations & pour ce fujet il faut nommer toutes les lignes connues & inconnues qui y peuvent fervir, par des lettres de Alphabet, avec cette difference que l'on nommera les données ou connues, ou déterminées, ou conftantes par les premieres a, b, c, d, &c. & les inconnues ou indéterminées, ou variables par les dernieres, r, f, t, u, x, y, z.

Et parcequ'il y a fouvent plufieurs chemins pour trouver les équations neceffaires pour la démonftration d'un Theorême, ou pour la réfolution d'un Problème, on pourroit prendre celui qui fe prefenteroit le premier s'ils conduifoient tous à des équations également fimples, &d'où l'on put tirer des conftructions également élegantes: mais comme l'on arrive quelquefois à des équa

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l'on

tions très-compofées, en fuivant certaines routes, & que arriveroit à de très-fimples en en fuivant d'autres ; il s'enfuit que lorsqu'on ne trouve pas les premieres équations aufquelles on eft parvenu par les premieres fuppofitions, affez fimples, il en faut chercher d'autres par d'autres voyes, & ne fe point rebuter: car lorfqu'un Problème eft fimple de fa nature, on trouve ordinairement des équations fimples pour le refoudre: mais parceque pour trouver des équations fimples, cela dépend particulierement des lignes que l'on nomme par des lettres inconnues, c'eft-à-dire, qu'en nommant certaines lignes par des lettres inconnues, on arrive à des équations très compofees, au lieu qu'en en nommant d'autres par les mêmes lettres inconnues, on arrive fouvent à des équations très-fimples.

8. On ne peut donner de regles précifes pour déterminer parmi les lignes inconnues celles que l'on doit nommer par des lettres inconnues, pour parvenir aux équations les plus fimples, ni pour tirer certaines lignes qui font necessaires tant pour la démonftration des Theorèmes, que pour la refolution des Problèmes, mais l'on peut faire certaines remarques, & établir certains principes qui ne laiffent pas d'avoir un grand ufage dans l'un & l'autre cas. On les trouvera ailleurs.

II.

PRINCIPES

GENERAUX

Pour appliquer l'Algebre à la Geometrie.

"L

ORSQU'IL S'agit de refoudre un Problême, ou de démontrer un Theorême de Geometrie, on doit premierement bien entendre ce dont il s'agit, c'està-dire l'état de la question, & bien remarquer les qualitez des lignes qui doivent former la figure fur laquelle on doit operer: car il y a des lignes données de pofition feulement; d'autres données de grandeur, & de pofition tout enfemble; d'autres données de grandeur, & non de pofition; & d'autres enfin qui ne font données ni de grandeur, ni de pofition.

1. Les lignes données de pofition feulement, font celles dont la fituation est invariable & toujours la même, mais

dont la longueur n'eft point déterminée: comme la ligne EFG, qui étant une fois pofée dans une fituation perpen- FIG. 2. diculaire au prolongement du diametre AC d'un demi cercle ABC, à une certaine distance du point C, ne peut avoir aucune autre position.

Les lignes données de grandeur & de pofition tout enfemble, font celles qui ne peuvent changer de situation, & dont la longueur est déterminée, de forte qu'elles ne peuvent ni alonger ni acourcir: comme le diametre AC du demi cercle ABC, qui étant une fois pofé dans une fituation perpendiculaire à la ligne FG, ne peut avoir aucune autre pofition.

Les lignes données de grandeur, & qui ne le font point de pofition, font celles dont la grandeur ne peut varier; quoique leur fituation puiffe changer, comme le demi diametre DB, qui demeure toujours de même grandeur en Fic. 2. quelque endroit de la circonference ABC que l'on prenne le point B. Les lignes données de grandeur sont aussi appellées lignes connues ou lignes conftantes, & on les nomme des lettres connues, a, b, c, d, &c.

par

Les lignes qui ne font données ni de grandeur ni de pofition, font celles qui en changeant de places, changent auffi de grandeur, comme la perpendiculaire BH qui changera de grandeur & de place autant de fois que le point H s'éloignera ou s'approchera du point D. Les lignes qui ne font données ni de grandeur ni de pofition, font auffi appellées lignes inconnues, indéterminées, ou variables, & on les nomme par des lettres inconnues x, y, z, &c.

2. Lorfqu'on veut refoudre un Problême, on le doit confiderer comme déja refolu, & ayant mené les lignes que l'on juge necessaires, l'on nommera celles qui font connues par des lettres connues, & celles qui font inconnues

par

des lettres inconnues, & fans faire de diftinction entre les quantitez connues & inconnues, on examinera les qualitez de la question, & l'on cherchera le moyen d'exprimer une même quantité en deux manieres differentes; & ces deux expreffions d'une même quantité étant égalées l'une

à l'autre, donneront une équation qui refoudra le Problême, qui fera déterminé, fi elle ne renferme qu'une feule lettre inconnue.

Mais fi elle renferme plufieurs lettres inconnues, il faut tâcher par le moyen des differentes conditions du Problême de trouver autant d'équations que l'on aura employé de lettre's inconnues, afin que les faisant évanouir, de la maniere qu'il eft enfeigné dans tous les livres d'Algebre, l'on ait enfin une équation qui n'en renferme qu'une feule, cette équation étant reduite, s'il eft neceffaire, à fes plus fimples termes par les manieres ordinaires expliquées dans les mêmes livres d'Algebre, donnera la sölution du Problême qui fera encore déterminé.

Si l'on ne peut trouver autant d'équations que l'on a employé de lettres inconnues, de forte qu'il refte au moins deux inconnues dans la derniere équation, le Problême fera indéterminé, & aura une infinité de folutions. Enfin, fi dans la derniere équation il reftoit trois ou un plus grand nombre de lettres inconnues, le Problême feroit encore indéterminé, mais il feroit d'une autre efpece dont nous ne parlerons point.

Il est souvent facile de reconnoître par les qualitez d'un Problême, s'il eft déterminé ou indéterminé, auquel cas on fçait, fi ayant employé deux inconnues, on doit trouver deux équations, ou fi l'on n'en doit trouver qu'une feule mais il arrive auffi quelquefois que : cela n'eft pas facile à distinguer, & c'eft en ce cas qu'il faut tâcher de trouver autant d'équations qu'on a employé d'inconnues, afin de déterminer par ce moyen la qualité du Pro

'blême.

fi

On n'explique point plus au long ce principe; car tout ce Traité n'en eft que l'application. On fe contentera de faire ici quelques réflexions fur les équations qui ne contiennent qu'une feule, ou deux lettres inconnues, c'està-dire fur les équations déterminées, & fur les indéter

minées.

DES

DES EQUATIONS DETERMINE'e s.

3.ON fçait que la lettre inconnue de ces équations, a autant de valeurs ou de racines, qu'elle a de dimensions dans le terme où elle eft le plus élevée, que ces valeurs font vrayes, fauffes, ou imaginaires, on ne dit pas qu'elles foient toutes d'une même efpece dans une même équa tion: car dans une même équation il y en a quelquefois des trois especes, de vrayes, de fauffes & d'imaginaires.

Les racines vrayes ou pofitives font celles qui font précedées du figne+: comme x=+a,

Les racines fauffes ou negatives font celles qui font précedées du figne―: comme x――a. Les racines fauffes font d'un grand ufage dans la Geometrie; car comme elles font autant réelles que les racines pofitives, elles fervent à déterminer les pofitions des courbes autant que les fitives, dont elles ne different qu'en ce que les pofitives devant être prifes d'un côté d'un point ou d'une ligne, les fauffes doivent être prifes de l'autre, comme on verra dans la fuite,

po

Les racines imaginaires font celles qui font fous un figne radical avec le figne-, dont l'expofant eft un nombre pair; comme x-ab; & comme la valeur de ces racines ne peut être exprimée, on les regarde comme nulles ou=0; de forte que x✔ab doit être regardée comme xo.

Dans toutes les équations où il n'y a que deux termes tous deux pofitifs, l'un connu & l'autre inconnu, fi l'expofant de l'inconnue eft un nombre pair, elle aura deux valeurs réelles, l'une pofitive & l'autre negative; toutes les autres feront imaginaires. Par exemple, de xx―aa, l'on tire xa,&x=—a; car en quarrant les deux membres de ces deux équations l'on a toujours xx aå ̧ puifque donne auffi bien que +x+, & en general de xa' (p. fignifie un nombre pair quelconque) l'on tire xa: ce qui fe prouve comme on vient de faire, en élevant l'un & l'autre membre à la puiffance paire p; car l'on aura toujours xo =+a2. ·

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X

B

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