Des Equations déterminées du premier degré, & de celles du fecond qui n'ont point de fecond terme. 7. N. voit clairement que les expreffions geometriques des quantitez Algebriques, donnent auffi la réfolution des équations du premier degré, & de celles du fecond, qui n'ont point de second terme; car fi ces mêmes quantitez étoient égalées à des lettres inconnues leur valeur feroit déterminée par ces expreffions. Par exemple, pour construire cette équation xx = aa— d'où l'on tire x =±√aa—bc, il n'y a qu'à exprimer Vaa-bc, comme on vient de faire, & l'expreffion prife de part & d'autre, de l'origine de x sera sa valeur positive & negative. Il en eft ainfi des autres. CONSTRUCTION .bc> Des Equations du fecond degré, qui ont un Second terme. VI. L Es Equations du fecond degré qui ont un fecond terme, fe peuvent toutes réduire à quelqu'une des quatre formules fuivantes. I. xx=ax + bb. 2. xx=- ax + bb. 3. xx= ax-bb. 4. xx——ax—bb, dont les racines font, — a±√1⁄2, aa—bb. CONSTRUCTION De la premiere & feconde Formule. 1.POUR la premiere & la feconde Formule. Soit dans la figure fur laquelle on opere, & d'où l'on a tiré l'équaFIG. 14. tion que l'on veut construire, A le commencement de x & 15. qui va vers H. Ayant élevé au point A la ligne AB perpendiculaire à AH, &=b racine du dernier quarré bb; I on prendra AC (Fig. 14.) ——a I 2 port à A pour la premiere formule où il y a+a; & de l'autre côté de H (Fig. 15.) pour la feconde formule, où a; & du centre C l'on décrira par B, le cercle 2 il y a DE'MONSTRATION. PUISQUE AC=— a, & AB = b ; CB=CE sera Vaa+bb; & par confequent x=AE=± √ aa+bb. C. Q. F. D. On prouvera de même de même que AD, est la valeur negative de x qui doit être prise de l'autre côté de A par raport à H. CONSTRUCTION De la troisième & quatrième Formule. FIG. 13. 2. SOIT A le commencement de x qui va vers P. & 16. Ayant pris AC du côté de P, par raport à A pour la troifiême formule, où il y a + 2 a (Fig. 13.); & de l'autre côté de P fur le prolongement de AP pour la qua I crira du centre C & du demi diametre CA ——a le demi 2 cercle AHB, on élevera enfuite CH perpendiculaire à AB, fur laquelle ayant pris CGb, racine du dernier quarré, on menera EF parallele à AB, qui coupera le demi cercle aux points E & F, d'où l'on abaifferà les perpendiculaires FD, EI. Je dis que AD & AI, feront les deux valeurs pofitives de x (Fig. 13), pour la troifiême Formule; negatives (Fig. 16), pour la quatriême. DEMONSTRATION. I PUISQUE AC ou CF = a,& CG = b; GF, ou CD fera = 2 Vaa-bb, & par consequent AD=x= + √ aa—bb, & AI=x= avaa — bb, lesquelles valeurs font toutes deux réelles & pofitives dans la Fig. 13. qui appartient à la troifiême formule, & toutes deux réelles, mais negatives dans la Fig. 16. qui appartient à la quatriême formule. C. Q. F. D. 3. SI b = CG eft REMARQUE. I 2 a=CH, le point G tombera en H, les points D & I en C, & les deux valeurs de x, feront égales. 4. Si CG eft plus grande que CH; les deux mêmes valeurs de x feront imaginaires, & le Problême fera impoffible. Ce qui fe connoît auffi par l'inspection des deux formules que l'on conftruit. 5. On peut encore conftruire ces équations, en faisant évanouir le second terme, après quoi on trouvera les valeurs de l'inconnue par l'art. 5. n°. 2. 6. Il y a encore d'autres équations qui appartiennent au second degré comme x*= +aa xx+ab, mais on les ramené à quelqu'une des quatre formules précedentes en égalant le quarré xx de l'inconnue à un rectangle, dont un côté est une autre inconnue, & l'autre côté est une lettre connue de l'équation. On prend ordinairement celle qui s'y trouve le plus fréquemment. Ainfi, en faifant ay =xx, & mettant dans l'équation aayy, pour x* & ay pour xx, l'on aura yy =±ayab, qui étant conftruite par les regles précedentes, la moyenne propor tionnelle entre a &y, fera la valeur de x. Par le moyen des équations du premier, & du second degré, l'on fait tout ce que les Anciens prenoient pour Geometrique. EXEMPLES. VII. Nous allons réfoudre plufieurs Problêmes du premier & du fecond degré, pour fervir d'exemples à la conftruction des équations plus compofées que les pré cedentes. PROBLEME SIMPLE. FIG. 17. I. DECRIRE un quarré GFHI dans un triangle donné ABC. Je remarque 10. Que le triangle ABC étant donné, la perpendiculaire AD le fera auffi. 20. Que pour former le quarré, il fuffit de trouver dans la perpendiculaire 4D, un point E, tel que DE foit égale à FG menée par le point E parallele à BC: car alors ayant mené FH, & GI paralleles à AD; FHIG fera un quarré. Ayant donc fuppofé le Problême réfolu, & nommé les données BC, a; AD, b; & l'inconnue DE, ou FG, x; AE fera b-x. Les triangles femblables ABC, AFG donneront b(AD). a (BC) :: b—x (AE). x (FG); donc bxab a b — ab — ax ou ax + bx = ab, d'où l'on tire x= qui donne cette construction. On prendra fur DB prolongée du côté de B l'intervalle DK=BC, & KL AD, & ayant joint LA, on me. nera KE parallele à LA, qui coupera AD au point cher. ché E. = DE'MONSTRATIO N. A Caufe des paralleles LA, KE l'on a LK ou (const.) A PROBLEME SIMPLE. 2. UN demi cercle, ABC, dont le centre eft D, avec une FIG. 18. perpendiculaire FB à fon diametre AC, qui le divife en deux parties quelconques, AF, FC, & un autre demi cercle FSC, décrit fur le diametre FC, étant donnez; il faut trouver dans le triligne mixte BFSCB, le centre O d'un cercle, dont la circonference touche les trois côtez du triligne mixte, comme on voit dans la Figure. Ayant fuppofé le Problême réfolu, mené (art. 4. n°. 1. ) les lignes OI, OE paralleles à FC & à FB, & les lignes OK, OS aux points touchans K, S; qui étant prolongées, iront paffer aux centres D, & G des cercles ABC, FSC, comme il est démontré dans les élemens de Geometrie. Nommant donc les données AD, ou DC, ou DK, a; FG, ou GC, ou GS, b; DF, c; FB, f; & les inconnues FE, ou 10, ou OK, ou OS, x; FI, ou EO,y; DO fera a-x; GO, b+x.; GE, b-x; & DE, c+x. Les triangles rectangles OED, OEG donneront DO2 — DE2 EO2, ou en termes Algebriques aa — 2ax + xx — cc 20x xxyy = GO' — GE2: 2bx + xx bb+2bx - bb = + xx, ou en retranchant ce qui doit être re tranché aa. aa cc CC 4bx, d'où l'on tire où je remarque que aa—cc=a+c x c = AF x FC= FB2 = ff, & que 4b + 2c = AC ff 2a; & partant x d'où l'on tire cette conftruction. 49 |