eft ifofcele. Ayant enfin mené BH perpendiculaire à AI prolongée, & nommé les données KB, ou KD,c; la perpendiculaire EG, b; AK, d; & les inconnues AI, ż; z; KI, x; BH, u; BI fera c-x, & ID, c + x. 3 = (+ x; c+x ༢༢ Les triangles femblables I A K, IBH donneront z (IA). d (AK) :: c— x (IB). u (BH); donc u = cd-dx. Et les triangles semblables HBA, GEA, & BEI, BAD donnent, u (HB). b (GE) :: BA. EA :: 2c (BD).; c + x ( ID). d'où l'on tire u — 2bc, donc 2bc cd — dx, ou 2bcz ccd-dxx: mais le triangle rectangle AKI, donne xxz-dd; c'eft pourquoi en mettant cette valeur de xx, dans l'équation précedente, l'on en tire 26c+cc+dd: Mais en nommant AB, a; l'on a, à caufe du triangle rectangle AKB, aa—cc+dd; mettant donc dans l'équation en la place de cc+dd fa valeur l'on a celle-ci zz: 2bc2 + aa, d'où l'on tire z be√ bbcc + aa, qui fournit cette construction. Soit prife AFGE, & menée F L parallele à KB; foit prolongée KA en C, en forte que AC FL; & ayant mené AM parallele à KB, & égale à AB, l'on décrira du centre Ĉ par M, le cercle MN, qui coupera AK prolongée en Ñ; & du centre A par Ñ, l'on décrira le cercle N10 qui coupera K B, en I; & ayant joint AI, l'on menera IE parallele à DA, qui formera le triangle AIE, qu'il faloit décrire. aa, ༢༢.་ ز DE'MONSTRATIO N. = = IL eft clair que A E✦ EI — AB, que l'angle A EI, eft tel qu'on le fouhaite, & que ANAI: A caufe de FL (conft.) parallele à KB, l'on a AK(d). KB (c) :: AF, ou G E ( b ). F L = ' — (conft.) AC, & = par tant CN + 2; & par la proprieté du cercle, CN' CAAM' AM' — AB'; ce qui eft en termes Algebri = 2h+aa qui eft l'équa, : tion que l'on a conftruite, d'où il fuit que J'ai copié ce Problême dans le Traité des lieux Geometriques de M. de la Hire, parcequ'il ouvre le chemin à la refolution de plufieurs Problêmes femblables, comme eft celui qui fuit: j'y ai ajouté la construction & la démonstration que cet Auteur n'avoit pas donnée. 17. PROBLEME PLAN. DECRIRE un triangle AEI, dont on connoit la FIG. 35. fomme des côtez AE + EI AB, la bafe AI, & dont Pangle AEI, foit égal à un angle donné. d; = En fuppofant la préparation précedente, & nommant les données AK, d, AI, b; & l'inconnue KI, x; l'on aura par la proprieté du triangle rectangle AKI,xx— bbdd; donc xvbb dd, qui donne cette conftruction. Soit du centre A & du rayon AI, décrit le cercle OIN qui coupera KB au point cherché I; ce qui n'a pas befoin de démonstration. 18. UN rectangle ABCD étant donné, il faut décrire FIG. 36. un autre rectangle EHGF; dont les côtez foient également éloignez de ceux du rectangle ABCD, & que le rectangle ABCD, foit au petit EHGF dans la raifon donnée de màn. Ayant fuppofé le Problême résolu, & nommé les données AD, où BC, a; AB, ou DC, b; & l'inconnue AL, ou LE, x; EF fera a-2x, & EH, b - 2x. zmbx + L'on aura par les qualitez du Problême, ab. ab 2bx+4xx :: m. n. donc mab — 2max — 4mxx = nab, d'où l'on tire xx = 21 ax + 1/2 bx + 2ax nab-mab, Soit nab-mab 4m 4m nab-mab 4m car 4m. a :: b. C= 4. donc nabab― cn — cm. Mais ab. 4m = 4m puifque n <m foit n—m――f; donc cn — cm — —fc, & faifant fcgg on aura cn cm — — •88, ou nab-mab 4m gg. Ceci fuppofé il faut achever le quarré & l'on aura xx 11⁄2 ax — 1 bx +¦— aa + 1⁄2 ab + bb: aa + ab + 1 bb 8 1 16 nah-mab gg en mettant gg pour 4m d'où tirant la racine quarrée on a x- La- - 1 b aa + ab + bb I 8 16 ggi QL=g= √mab —nab, on aura KL⇒√ AK — QL 4m √ — aa+} ab +÷bb―gg; donc x=AK—KL=AL. Ce qui fournit cette construction. 4m Soit prife AI= a + b, & décrit fur le diametre AI, le demi cercle API. Et ayant élevé au centre K, la perpendiculaire KP, pris KO√mana, & mené par o la ligne QOR, parallele à AI, qui rencontrera le demi cercle aux points Q & R, par où l'on menera QL & R M paralleles à PK, qui couperont AI aux points cherchez L & M. De forte qu'ayant pris AS, BT,& BV égales à AL, l'on formera le rectangle EHGF, & le Problême fera réfolu. DEMONSTRATION. 2 PAR la proprieté du cercle AL × LI=LQ ̊, ou en termes Algebriques x x a+b—-x=1 ax + bx 1⁄2 -XX mab-nab, ou xx= = 1/2 ax + 12 bx +namab, qui eft l'équation que l'on a construite. C. Q. F. D. J'ai démontré la conftruction de ces deux derniers Problêmes algebriquement, pour indiquer la maniere de démontrer tous les autres de même; ce qui eft fi facile, que je ne crois pas qu'il foit neceffaire d'apporter un plus grand nombre d'exemples. Les Démonstrations faites à la maniere des Anciens éclairent plus l'efprit que les Démonstrations Algebriques, quoiqu'elles ne foient pas plus certaines : mais auffi elles ne font pas fi faciles à trouver, comme il est aisé de juger par les Démonstrations des Problêmes précedens, que l'on auroit pu démontrer par l'Algebre auffi facilement que les deux derniers. SECTION III. Où l'on donne la Méthode de démontrer les Theorêmes. de Geometrie. VIII. METHOD E. avoir PRE'S avoir mené les lignes que l'on juge neceffaires en fuivant les Obfervations de l'article 4, on nommera celles qui doivent entrer dans la question, comme lorfqu'on veut réfoudre un Problême avec cette différence, que l'on peut fe fervir de toutes les lettres indifféremment : car comme l'on ne cherche la grandeur d'aucune ligne, on les peut regarder comme etant toutes connues, ou inconnues. le Cela fait, on exprimera en termes Algebriques, les veritez que l'on veut démontrer, & on cherchera des équations par les proprietez du triangle rectangle, & des triangles femblables, ou autrement, que l'on ramenera par moyen des substitutions aux mêmes expreffions, que celles qui expriment les veritez dont il s'agit, & alors le Theo rême fera démontré. T S'il arrive que tous les termes de l'équation fur laquelle on opere, fe détruifent, de forte qu'il refte oo, le Theorême fera encore démontré : car c'est une marque que la chofe eft telle qu'on l'a fuppofée, fans qu'il foit neceffaire de déterminer la grandeur d'aucune des lignes qui ont été nommées. Ceci arrive ordinairement lorfque l'on regarde les Theorêmes qu'on veut démontrer, comme des Problêmes qu'on veut réfoudre. Il arrive auffi quelquefois que l'on croit réfoudre un Problême, & il fe trouve par la mutuelle deftruction des termes de l'équation, que c'eft un Theorême, qui se trouve auffi par ce moyen démontré. Tout ceci sera éclairci par les exemples qui fuivent. EXEMPLE I. Theorême. FIG. 37. 1. SI une ligne droite donnée AB, eft coupée également en C, & inégalement en D; le quarré de la moitie CB moins le quarré de la partie du milieu CD, fera égal au rectangle des deux parties inégales AD, DB. Ayant mommé AC, ou CB, a; CD, b; AD, fera, a+b; & DB, a—b. Il faut démontrer que aa―bb (CB' —CD')—AD × DB. DEMONSTRATION. EN multipliant a+b(AD) par a — - b, (DB) l'on aura da · bb (CB' — CD* ) =AD × DB. C. Q. F.D. EXEMPLE II Theorême. FIG. 38. 2. SI une ligne droite AB, coupée par le milieu en C, eft prolongée en D d'une grandeur quelconque. Je dis que le quarré de C.D moins le quarré de CB, fera égal au rectangle de la toute AD, par la partie prolongée BD. Ayant nommé CD, a; AC, ou CB; b; AD sera a+b; & BD, a-b. Il faut démontrer que aa— · bb (CD' — CB2 ) = AD × DB. |