= Ayant nommé BC, a; EF, b; AG, c; DH, d; le triangle ABC, x; & le triangle DEF, y; l'on aura le triangle ABC === x, & le triangle DEF = bd =y; donc x.y::. bd :: ac. bd; donc bdx =acy: Mais (Hyp) a. b:: d. c; donc ac bd; c'eft pourquoi la premiere équation bdx =acy devient x=y, ABC DEF. C. Q. F. D. 2 On démontrera de la même maniere que les parallepipedes, les prifmes, les cilindres, les cones & les pirami des, dont les bafes & les hauteurs font en raifon reciproque, font en raison d'égalité. On ne donnera pas davantage d'exemples de la Méthode de démontrer par l'Algebre les Theorêmes de Geometrie: car les quatre Sections suivantes, où l'on démontrera les proprietez les plus confiderables des Sections coniques, en fourniront un affez grand nombre. FIG. 48, IX. I. 49, 50. SECTION IV. Des Sections du Cone & du Cilindre. DEFINITIONS ON GENERALES. N appelle Section Conique, une ligne courbe IDH, qui eft la commune Section d'un Plan EDF, & de la fuperficie d'un Cone ABC, dont A est le fommet; & la bafe eft un cercle dont le diametre eft BC. 2. Le triangle ABC eft appellé le triangle par l'axe; parcequ'il eft la commune Section du Cone & du Plan qui paffe par le fommet A, & par le diametre BC de la bafe, & que l'axe du Cone, eft dans le Plan du même triangle ABC. SUPPOSITION. 3. ON fuppofe que le Plan EDF, eft perpendiculaire au Plan du triangle ABC, & que le plan du triangle ABC, eft perpendiculaire à la base du Cone. COROLLAIRE. 4. D'où il fuit que DG, qui eft la commune Section du Plan EDF, & du triangle ABC, eft perpendiculaire à EGF, qui eft la commune Section du même Plan EDF, & de la bafe du Cone; & que la même EGF, eft perpendiculaire à BC; & par confequent coupée (Fig. 48, & 50.) par le milieu en G, d'où l'on conclura auffi que fi l'on mene par quelque point Z de la ligne DG, une ligne MN parallele à BC, & une autre ligne IH parallele à EF; ces deux lignes MN, & IH, feront dans un Plan parallele à la base du Cone, dont la commune Section avec la fuperficie du Cone, fera un cercle qui paffera par les points M, I, N, H, & dont le diametre fera MN, qui coupera à angles droits, & par le milieu en ZL, la ligne IH. Il fuit auffi que le point D, qui eft commun à la courbe IDH, & au côté AB du triangle ABC, eft plus près du fommet A dans les fuppofitions précedentes, que tout autre point de la même courbe. 1 DEFINITIONS PARTICULIERES. 5. LA Section conique IDH, eft nommée parabole, F16.48. lorfque le Plan coupant EDF, eft parallele à un des côtez AC du Cone ou du triangle ABC, DG eft nommée l'axe de la parabole; D, fon fommet, 'DL, l'abciffe, ou la coupée ; IL, ou LH, l'appliquée, ou l'ordonnée à l'axe. 6. La Section conique ID H, eft appellée, ellipfe, lorf- FIG. 49. que le Plan coupant EDF, coupe les deux côtez AB, AC du Cone ou du triangle par l'axe, & n'eft point parallele â la base du Cone. La ligne Dd eft nommée l'axe, ou diametre principal; le point K milieu de Dd, le centre ; la ligne KR menée par le centre K perpendiculaire à Dd, l'axe, ou le diametre conjugué à l'axe Dd; DL, l'abciffe ou la coupée; LI ou LH, l'ordonnée ou l'appliquée à l'axe Dd. Il peut arriver un cas où la Section eft un cercle, quoique le Plan coupant ne foit point parallele à la bafe du Cone: mais cela ne fait rien à notre deffein. 7. La Section conique IDH, eft appellée hyperbole, lorfque le Plan coupant EDF, coupe auffi la fuperficie conique oppofée, & y forme une autre hyperbole edf, oppofée à la premiere, que l'on démontrera ailleurs lui être égale, & femblable; Dd eft nommée l'axe déterminé de l'hyperbole, ou des hyperboles oppofées; D, & d, le fommet de l'axe Dd, DL, l'abciffe, ou la coupée; LI, ou LH, l'appliquée; ou l'ordonnée; le point K milieu de Dd, le centre. 8. PROPOSITION I. Theorême. EN fuppofant les mêmes chofes que l'on a supposées dans la Figure où la courbe IDH eft une parabole; & outre cela, fi on mene DO parallele à BC, ou à MN; fi on prend AP -DO, & qu'on mene PQ parallele à DO, ou à MN. Je dis que DLXPQ=LI'=LH'. Puifque le Plan coupant EDF eft ( no. 5.) parallele à AC, AP DO fera = LN; & ayant nommé les données AO, b; DO, ou AP, ou LN, c; PQ, p; & les inconnues DL, x; & LI, y. Il faut prouver que px (PQ × DL) =yy ( LI3). DE'MONSTRATION. LEs triangles semblables AOD, DLM, donnent 40 (b). OD (c) :: DL (x). LM = : Or ( n°. 4.), & par mais la reffemblance des triangles AOD, APQ donne 6. (AO). c (OD) :: c(AP). p (PQ); donc ce = bp. Mettant donc bp en la place de ce dans la premiere équa tion, l'on aura px=yy. C. Q F. D. DEFINITION. 9. LA ligne PQ=p, est appellée le parametre de l'axe F16.48. de la parabole. PROPOSITION II. Theorême. 10. EN fuppofant les mêmes chofes, que dans la Figure où F16.49. la courbe IDH eft une ellipfe ; & outre cela fi l'on divife Dd par le milieu en K, & fi l'on mene SKT parallele à MN, & VKR parallele à HI, RV, fera la commune Section de l'ellipfe, & d'un cercle SRTV, dont le diametre eft ST, &qui eft coupé dans la fuperficie Conique par un Plan parallele à la bafe du Cone, ou au Plan du cercle MINH, puifque HI eft (no 4.) la commune Section de l'ellipfe, & du cercle MINH. De forte que V&R feront dans la circonference du cercle SRTV, & dans celle de l'ellipfe. Cela pofé, je dis que DL x Ld. LI' :: DK'. KR'. Ayant nommé les données DK, ou Kd, a; SK, gi KT, f; KV, ou KR, b; & les indéterminées KL, x; LI, ou LH,y; DL sera a—x, & dL, a+x. Il faut démontrer que aaxx (DL × Ld). yy (LI') :: aa (DK'). bb (KR*). DEMONSTRATION. LEs triangles semblables dKT, dLN, & KDS, LDM, donnent dK (a). KT (f)::dL(a+x). LN & KD (a). KS ( g ) :: LD (a — x) L M = af+fx a ag-gx a donc par la proprieté du cercle aafg afgx afgx — fgxx (LN × LM) = yy (Lľ2), qui se réduit à = mais fg TK × KS = (par la proprieté du cercle) bb; c'eft pourquoi mettant dans l'équation pré cedente pour fg sa valeur bb, l'on aura aabb bbxx =yy, aa d'où l'on tire aa-xx.yy :: aa. bb. Si l'on avoit nommé DL, x; l'on auroit trouvé cette équation 2ax-xx = aayy bb PROPOSITION III. Theorême. FIG. 50. 11. EN fuppofant les mèmes chofes que l'on a fuppofees, dans la Figure où la courbe IDH eft une hyperbole, & outre cela, fi l'on divife Dd par le milieu en K, & qu'ayant mené KTS parallele à MN, on trouve une moyenne proportionnelle KR entre KS, & KT. Je dis que DL x Ld. LI2:: DK2. KR2. Ayant nommé les données KD, a ; KR, b; KS, gi KT, f; & les indéterminées KL, x; LI, ou IH,y; LD fera, x— a ; & Ld, x+a. LES DEMONSTRATION. DLM, Es triangles semblables dKT, dLN, & DKS, DI donnent, dK (a). KT (f) :: dL ( x + a). LN= |