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(LI). L'on a auffi par la conftruction g (KS). b (KR) .:: b. (KR). f'(KT); donc gf=bb; c'eft pourquoi fi l'on met dans l'équation précedente, en la place de gf sa va

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d'où l'on tire xx-aa. yy:: aa. bb. C. Q. F. D.

yy::aa.

aayy

bb

Si l'on avoit nommé DL, x; l'on auroit eu cette équa

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12. LA ligne VKR double de KR menée par K paral- FIG. 493 lele à IH, est appellée l'axe conjugué à l'axe Dd.

13. Dans l'ellipfe & dans l'hyperbole, la troifiême proportionnelle à deux diametres conjuguez quelconques, eft appellée le parametre de celui qui occupe le premier lieu dans la proportion.

14. Suivant cette Définition, il est aisé de déterminer le parametre de l'axe Dd dans l'ellipfe, & dans l'hyperbole: car il n'y a qu'à prendre DP=2KT; & la droite PQ, parallele à MN, qui rencontre le côté AB du cone en fera le parametre qu'on cherche: car, ayant nommé la ligne PQ, p; les triangles semblables DKS, DPQ2 donnent a (DK). g (KS) :: 2f (DP, ou 2KT). p (PQ); donc pa= 2fg: mais (no. 11,) fg bb; donc pa=2bb, d'où l'on tire a. b:: 2b. p, ou 2a. ou 2a. 2b :: 26. P, c'est-à-dire Dd. RV:: RV. PQ.

=

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➡ xx, ou xx—aa. yy :: 2a.p, c'est-à-dire, DL × LDa. LI: Dd. PQ:

so.

K

PROPOSITION IV.

Theorême.

FIG. 51. 16. LA mème hyperbole IDH, dont l'axe déterminé eft Dd, le centre K, le diametre ou l'axe conjugué RV perpendicu laire à Dd, une ordonnée IL parallele à RV, étant mife fur un Plan. Je dis qu'ayant fait au fommet D, DB & DE paralleles, & égales à KR, ou KV; les lignes KB, ΚΕ menées du centre K par les points B, E, & indéfiniment prolongées, ne rencontreront jamais l'hyperbole, & qu'elles s'en approcheront de plus en plus à l'infini.

DE'MONSTRATION.

br

AYANT mené du fommet D, les droites DG, DO paralleles à KB, & à KE; du point I, les droites IM,IP paralleles aux mêmes KE, KB, & prolongé IZ de part & d'autre, en forte qu'elle rencontre KB & KE en C, & F; & nommé, comme dans la propofition précedente, les données DK, a; DB, ou DE, b; KŌ, ou GD, ou KG, ou OD, qui font toutes égales, c; les indéterminées KL, x; LI, ou LH,y; IP ou MK, f; IM, ou PK, z. Les triangles semblables KDB, KLC, donnent KD (a). DB (b) :: KL (x). LC; donc IC= bx-y & IF = bx +y: car puifque (conft.) DB DE, LC fera LF; & puifque ( no. 4.) LI = LH, IC fera HF. De plus, les triangles femblables DBG, ICM, &• DEO, IFP donnent, b (DB). c (DG) :: bx y (IC).z (IM), & b (DE). c (DO) :: by (IF). f (IP), d'où l'on tire ces deux équations by bcxcy, & bf bcxcy: mais l'on a par la Propofition précedente xx — aa = y; c'est pourquoi fi on fait évanouir x &y, par le moyen de ces trois équations, l'on aura celle-ci fz= cc:

aayy

= =

=

=

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substituant les valeurs de xx & yy dans D, on aura

aaff +24a₤2+ aazz X bb

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divifant tout par aabb après avoir multiplié par 4cc on aura
ss+2/2+22— 4cc = →2/2+zz qui se réduit à 4%
=4cc ou f1⁄2=t; c'est-à-dire, PI × IM = KG × GĎ,
qui fait voir que f, ou PI, ou MK croissant, ou MI
diminue; ce qui peut aller à l'infini. Et comme fz, ou
PIX IM, doit toujours être =
= KG × GD; il fuit que
quelque grande que l'on fuppofe, ou PI, ou KM, il
faut que MI ait encore quelque longueur, & partant KM
ne rencontrera jamais l'hyperbole IDH. C. Q. F. D.

DEFINITION.

LES s lignes KC, & KF font nommées afymptes de l'hy: perbole.

COROLLAIRE.

IL eft clair que tous les parallelogrammes, comme
KIMP, font égaux entr'eux, & au parallelogramme

KGDO, en quelqu'endroit de l'hyperbole que l'on prenne le point I.

FIG. 52. 17.

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PROPOSITION V.

Theorême.

SOIT AB une fuperficie cylindrique coupée par un Plan AB qui passe par l'axe du cylindre. Je dis que fi l'on coupe la fuperficie cylindrique par un autre Plan dIDHd perpendiculaire au Plan AB, & incliné à l'axe du cylindre, la commune Section · dIDHd de cc Plan, & de la fuperficie cylindrique, fera une ellipfe.

DEMONSTRATIO n.

AYANT divifé Dd qui eft la commune Section des Plans AB,&dIDHd par milieu en K, & pris librement un point Z fur la même Dd; fi l'on suppose la fuperficie cylindrique coupée par deux Plans paralleles entr'eux, & perpendiculaires à l'axe du cylindre, qui paffent par les points K&L, les communes Sections SVTR, MHNI de ces deux Plans, avec la fuperficie cylindrique, feront deux cercles dont les communes Sections VKR, HL1, avec le Plan dIDHd, feront perpendiculaires à Dd, à ST, & à MN; & dont les communes Sections ST., MN, avec le Plan AB, font les diametres; d'où il fuit que KV=KR, & LH=LI, & que le point K qui divife Dd par le milieu; divife de même ST; & partant le point K est le centre du cercle SVT.

،

Ayant donc nommé les données KD, ou Kd, a ; SK, ou ẤT, où KR, ou KV, b; & les indéterminées KL ̧x; DL fera a+x, & Id a — x.

LI,y;

Les triangles femblables DKS, DLM donnent DK

(a). KS (b) :: DL (a+x). LM=

ab + bx

a

Pareille

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cause du cercle MIN, ML × LN — LI2, c'est-à-dire en

termes Algebriques

aayy

bb

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=

=yy, ou aa -xx

; & comme cette équation eft la même que la précedente

(no. 10 ). Il fuit que la courbe dIDHd, est une ellipse. C. Q. F. D.

PROPOSITION VI.

Theorême.

18. SI les bafes des fuperficies coniques ; & par confequent les FIG. 48; courbes IMH, qui font les communes Sections des mêmes fu- 49, 50. perficies coniques par des Plans paralleles aux bafes, ont cette proprieté qu'une puissance quelconque de leurs appliquées LH, ou LI, foit égale au produit de deux puiffances de LM, & LN, telles que la fomme de leurs expofans, foit = à l'expofant de la puiffance de LI, c'est-à-dire par exemple, que LIP+9—LM2 × LN2, ou LM2 x LN. Fe dis que les Sections coniques IDH, telles que nous les avons définies ( n°. 5, 6, & 7.) font de même genre que les courbes IMH. En donnant aux lignes les mêmes noms qu'on leur a données (no. 8, 10, & 11 ) ; & faisant p+q=m,p fignifient tels nombres qu'on voudra entiers ou rompus.

&

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Soit premierement le Plan coupant EDF parallele à AC. Il faut prouver que la courbe IDH, eft une parabole du même genre que la courbe IMH.

DE'MONSTRATION.

L'ON trouvera, comme on a fait (no. 8.) LM =

CX

b

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LN-c: mais par la proprieté de la courbe IMH,
LM2 × LN2 =LI", c'est-à-dire, en termes Algebriques,

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