m

=y, qui eft une équation à une parabole du même genre que la courbe IMH, puifque l'inconnue y, dont l'expofant eft plus grand que celui de x, eft élevée à la même puiffance que LI=y, dans l'équation à la courbe

IMH. C. Q. F. D.

Ce fera la même Démonstration pour l'ellipfe & pour l'hyperbole, & pour la Section du cylindre.

Mr De la Hire qui eft le feul que je fçache qui a parlé de ces courbes, les appelle cercles du fecond, troisième, quatrième, cinquième genre, &c. LM2 x LN1,

Si dans l'équation précedente LI" = on fait p=2, & q=1, ou p=1, & q = 2; m =p+q fera =3, & l'équation deviendra LI' = ZM1 × LN, ou LI' = LM × LN, & la courbe IMH, sera un cercle du fecond genre.

Dans la même fuppofition de p=2, &q=1, l'équa=y", devient c'**=y', qui est du même

tion

C C

bb

degré que celle de la courbe IMH, & qui appartient par confequent à une parabole du fecond genre, qu'on appelle feconde parabole cubique.

b

Sip=1, & q = 2, l'équation

m

=yTM deviendra

=y', qui se rapporte encore à une parabole du second genre, qu'on appelle premiere parabole cubique. Il en eft ainfi des autres.

19.

REMARQUE.

ON détermineroit avec la même facilité la nature, & le genre de la courbe IDH, dans le Cone, & dans le Cylindre; si la courbe IMH, dont le Plan est parallele à la base BC, étoit une Section conique d'un genre quelconque. Et en general, la nature de la cour

1

be IMH étant donnée, on déterminera aifément la nature de la courbe IDH; & au contraire. De forte qu'il n'y a point de courbe que l'on ne puiffe confiderer comme la Section d'une efpece de Cone ou de Cylin. dre, & déterminer par fon moyen la nature de la courbe IMH parallele à la bafe de ce Cone, & de ce Cylindre, ou bien qu'il n'y a point de courbe, que l'on ne puif fe fuppofer être la bafe d'un Cone, ou d'un Cylindre, & déterminer par fon moyen la nature des Sections de ce Cone, & de ce Cylindre. De maniere qu'on peut avoir non feulement une infinité de genres de Sections coniques, mais encore une infinité d'efpeces dans chaque genre, excepté dans le premier, qui ne renferme que quatre courbes, comme on a déja remarqué.

On s'eft contenté de démontrer dans le Cone, la principale proprieté des Sections coniques du premier genre, attendu qu'on en va démontrer dans les trois Sections fuivantes, toutes les proprietez neceffaires pour l'Application de l'Algebre à la Geometrie, en les décrivant par des points trouvez fur des Plans. On ne les a même confiderées dans le Cone que parcequ'elles y ont pris leur origine, & leur nom, pour faire voir que celles qu'on décrit fur des Plans, font précisément les mêmes que celles qu'on coupe dans le Cone; & qu'on peut par confequent leur donner les mêmes noms.

Où l'on démontre les principales proprietez de la
Parabole décrite par des points trouvez
fur un Plan.

FIG. 53. X.

U

PROPOSITION I.

Theorême.

NE ligne droite DFP, & deux points fixes D, &F fur cette ligne, étant donnez de pofition fur un Plan. Je dis que fi l'on mene librement la ligne MPm, perpendiculaire à DFP; & fi du centre F, & du rayon DP, l'on décrit un cercle; il coupera la perpendiculaire MPm, en deux points M & m, qui feront à une Parabole.

DE'MONSTRATION.

IL eft clair qu'ayant divifé DF par le milieu en A, le cercle décrit du centre F, & du rayon DA, touchera en A, la perpendiculaire menée par le point A, & ne rencontrera point celles qui feroient menées au - deffus de A par raport à F: mais qu'il coupera en deux points toutes celles qui feront menées au-deffous de A, comme MPm; d'où il fuit que la courbe qui paffe par les points M, m trouvez, comme on vient de dire, passe auffi par le point A.

Ayant mené F M, & nommé les données, ou conftantes AF, ou AD, a; & les indéterminées, ou variables AP, x; PM, y; FP fera x-a, ou a — x ; & FM, ou DP, x+a.

yy=

Le triangle rectangle FPM donne xx — 2ax + aa + =aa+2ax+xx, qui fe réduit à 4ax=yy, ou (en faifant 4a=p) px=yy. Or comme cette équation est la même que celle de l'article 9. n°. 8; il fuit que la courbe

MAM,