: 9P CC P =y", qui est une équation à une parabole du me me genre que la courbe IMH, puisque l'inconnue y, dont l'exposant est plus grand que celui de x, est élevée à la même puissance que LI=y, dans l'équation à la courbe IMH. C. Q. F. D. Ce sera la même Démonstration pour l'ellipfe & pour l'hyperbole, & pour la Section du cylindre. Mr De la Hire qui est le seul que je sçache qui a parlé de ces courbes, les appelle cercles du second, troisieme, quatrième, cinquieme genre, &c. m P Si dans l'équation précedente ZI" = LM2 × LN, on fait p=2, & q = 1, ou p=1, &q=2; m=p+q sera =3, & l'équation deviendra LI' = ZM2 × LN, ou LI = LM × LN2, & la courbe IMH, fera un cercle du second genre. Dans la même supposition de p=2, &q=1, l'équa CPP tion =y", devient c'xx bb =y', qui est du même degré que celle de la courbe IMH, & qui appartient par consequent à une parabole du second genre, qu'on appelle seconde parabole cubique. cx b Si p= 1, & q = 2, l'équation =yTM deviendra 6P =y', qui se rapporte encore à une parabole du second genre, qu'on appelle premiere parabole cubique. Il en est ainsi des autres. REMARQUE. 19. On détermineroit avec la même facilité la nature, & le genre de la courbe IDH, dans le Cone, & dans le Cylindre ; si la courbe IMH, dont le Plan est parallele à la base BC, étoit une Section conique d'un genre quelconque. Et en general, la nature de la cour be IMH étant donnée, on déterminera aisément la nature de la courbe IDH; & au contraire. De forte qu'il n'y a point de courbe que l'on ne puisse considerer comme la Section d'une espece de Cone ou de Cylin. dre, & déterminer par fon moyen la nature de la courbe IMH parallele à la base de ce Cone, & de ce Cylindre; ou bien qu'il n'y a point de courbe, que l'on ne puifse supposer être la base d'un Cone, ou d'un Cylindre, & déterminer par fon moyen la nature des Sections de ce Cone, & de ce Cylindre. De maniere qu'on peut avoir non seulement une infinité de genres de Sections coniques, mais encore une infinité d'especes dans chaque genre, excepté dans le premier, qui ne renferme que quatre courbes, comme on a déja remarqué. On s'est contenté de démontrer dans le Cone, la principale proprieté des Sections coniques du premier genre, attendu qu'on en va démontrer dans les trois Sections suivantes, toutes les proprietez necessaires pour l'Application de l'Algebre à la Geometrie, en les décrivant par des points trouvez fur des Plans. On ne les a même confiderées dans le Cone que parcequ'elles y ont pris leur ori. gine, & leur nom, pour faire voir que celles qu'on décrit sur des Plans, sont précisément les mêmes que celles qu'on coupe dans le Cone; & qu'on peut par consequent leur donner les mêmes noms. SECTION V. Où l'on démontre les principales proprietez de la FIG. 53. X. Parabole décrite par des points trouvez U Sur un Plan. PROPOSITION I. F Theorême. NE ligne droite DFP, & deux points fixes D, fur cette ligne, étant donnez de position fur un Plan. Je dis que si l'on mene librement la ligne MPm, perpendiculaire à DFP ; & fi du centre F, & du rayon DP, l'on décrit un cercle; il coupera la perpendiculaire MPm, en deux points M&m, qui feront à une Parabole. DEMONSTRATION. IL est clair qu'ayant divise DF par le milieu en A, le cercle décrit du centre F, & du rayon DA, touchera en A, la perpendiculaire menée par le point A, & ne rencontrera point celles qui feroient menées au - dessus de A par raport à F: mais qu'il coupera en deux points toutes celles qui seront menées au-dessous de A, comme MPm; d'où il suit que la courbe qui passe par les points M, m trouvez, comme on vient de dire, passe aussi par le point A. Ayant mené FM, & nommé les données, ou constantes AF, ou AD, a; & les indéterminées, ou variables AP, x; PM, y; FP sera x - a, ou a - x ; & FM, ou DP, x + a. Le triangle rectangle FPM donne xx - 2x + aa + yy=aa+2ax+xx, qui se réduit à 4ax =yy, ou (en faifant 4a=p) px=yy. Or comme cette équation est la même que celle de l'article 9. no. 8; il suit que la courbe MAm, 1 |