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12.

PROPOSITION XI.

Theorême.

UNE équation à la parabole ( ax = yy) dont les coordonnées x &y ne font point perpendiculaires, étant donnée, décrire la parabole.

Soit M le fommet du diametre MO, dont le parame- FIG. 57. tre est a, & l'origine des variables x, qui va vers 0, & y qui va vers K en faifant avec MO l'angle oblique OMK. Il faut décrire par M la parabole ZMG dont l'équation eft ax = yy.

Ayant prolongé OM & pris MH= a=(Prop. préced.) au quart du parametre du diametre MO, on menera par H la droite HE perpendiculaire à HO, qui fera (Prop. préced.) la ligne generatrice; & ayant fait l'angle KMF = l'angle KMH, pris MFMH & mené par F la ligne FD parallele à MO qui coupera la generatrice HE en D. Par la Propofition précedente, & par la fixiême, F fera le foyer; FD, l'axe ; D le point generateur, & A milieu de FD le fommet de l'axe de la parabole qu'il faut décrire. On la décrira par la premiere Propofition.

DE'MONSTRATION.

ز

ELLE eft claire par la Propofition précedente, & par

la fixiême.

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Où l'on démontre les principales propriete de l'Ellipfe décrite par des points trouvez

FIG. 58. XII.

fur un Plan.

PROPOSITION I

Theorême.

U du

NE ligne droite AB, divifée par le milieu en C, & deux points fixes F, G également diftans milieu C, ou des extrémitez A & B, étant donnée de grandeur & de pofition ; fi l'on prend entre F & G un point quelconque H, & que du centre F & du rayon AH; du centre G & du rayon BH, l'on décrive deux cercles; ces deux cercles fe couperont en deux points M, m de part & d'autre de la ligne AB; puifque leurs demi diametres furpaffent FH+HG. Et je dis que les points M&m, & tous ceux qui feront trou༧༩༢. de la même maniere, en prenant d'autres points H, feront à une Ellipfe dont C eft le centre, AB le grand axe, DE l'axe conjugué à l'axe AB, qui eft double de la moyenne proportionnelle entre AF & FB, ou AG & GB.

DE'MONSTRATION.

D'UN des points M, trouvez comme on vient de dire, ayant abbaiffé la perpendiculaire MP, mené F M & GM, & nommé les données AC, ou CB, a ; FC, ou CG, c; & les indéterminées CP, x; PM, y; AP fera, a-x; PB,a+x; FP,c-xou,x-c; & PG, c+x. Il est clair par la defcription que FM+ MGA B =2a; puifque FM AH, & MGHB; nommant donc la difference de F M, & MG, 2f; F M sera a —s & MG, a +f. Cela pofé.

=

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CC

Les triangles rectangles FPM, GPM donneront

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pre

2cx + xx + yy = da cc+2cx + xx + yyaa + 2af+f, & en ôtant la miere de la feconde, le premier membre du premier & le second du second, l'on aura 4cx = 4af, d'où l'on tire s==, & mettant cette valeur de f, & celle de son

a

quarré dans l'une des deux premieres équations,

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CCXX

l'on

2cx + xx+yy=aa 2cx+ , d'où l'on

aa

tire en réduifant, tranfpofant, & divifant par aa - cc ;

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Mais lorsque le point P tombe en C, PM (y) devient CD, & ( x ) devient nulle, ou = 0; c'est pour

quoi en effaçant le terme xx, l'on a aa =

--

CC =

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= +CD: nommant donc CD, b; l'on a, aa—cc= bb; d'où l'on tire a-c (AF). b(CD) :: b (CD). a + c (FB). Qui eft une des chofes qu'il faloit démontrer. Or mettant b6 dans l'é

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Et comme cette équation eft la

celle qu'on a trouvée (Art. 9. n°. 10.) il suit la courbe ADBE eft une Ellipfe. Ce qui eft une des autres chofes propofées.

que

aayy

Si dans l'équation aa — xx = l'on faity=0, l'on

bb

aura xxaa; donc x= +a, ce qui fait voir que L'EL lipfe paffe par les points A & B. Et en faifant x = o l'on a trouvé y +CD qui montre que l'Ellipfe AM paffe auffi par les points D & E, en faisant CE = CD; c'est

=

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FIG. 59.

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u ll-a : X X

и,

pourquoi (Art. 9. n°. 6. ) AB, eft le diametre principal de I'Ellipfe; DE fon axe conjugé, & C le centre. Ce qu'il faloit enfin démontrer.

aayy

On peut réfoudre cette équation aa — xx ——— par

aa- col

le cercle. Mais il faut la changer en celle-ci aa - cc =

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yy a+x On fera enfuite cette

puis faire cette analogie, B. a + x.yy. —

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aa

autre analogie, D. a—x. a::a. =u, & l'on aura

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¢¢ — ༢@.

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Pour trouver toutes les inconnues, u, x, y, z, 10. d'un rayon qui ne foit pas moindre que la moitié d'AB = 2α décrivez le cercle ABG, infcrivez-y la corde AB=2a, fur laquelle vous prendrez AD = a+c,&DB=a—c par le point D menez une autre corde EG. Et parce que dans l'analogie D, a eft plus petit que z, il faut prendre DG u plus grand que AB.

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A préfent pour avoir x, à cause de l'analogie D, on aura au XU=aa, ou, au — aa — ux ; ainfi nous aurons cette analogie E. u.a :: a. x. On trouvera x en faisant FIG. 60. l'angle CAF, & prenant AFu, BF — u — a, AC =a, les paralleles CF & BD menées, donnent DC=x. FIG. 61. Enfin pour avoir y, menez, pour avoir y, menez, à cause de l'analogie B, la ligne AB, fur laquelle vous prendrez AD = a + x ( AK +DC), DB=z. De C milieu de AE, & de l'intervalle AC ou CB, décrivez le demi cercle ALB, la perpendiculaire DL=y.

FIG. 58.

I.

DEFINITIONS.

LES s points F & G font nommez les foyers de l'Ellipfe; CP, Fabciffe, ou coupée, & PM, ou Pm l'ordonnée, ou l'appliquée à l'axe AB.

COROLLAIRE I.

2. IL eft clair que les lignes FM, GM menées des foyers à la circonference de l'Ellipfe font, par la description, ensemble égales à l'axe AB, & que PM = Pm.

COROLLAIRE I I.

3. IL eft auffi évident que le rectangle des deux parties AF, FB ou AG, GB de l'axe AB faites par un des foyers F, ou G, est égal au quarré du demi axe conjugué DC: car dans la Démonstration précedente l'on a trouvé aa cc = CD2. Or aa —

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FBCD2.

4.

ON voit

CC

COROLLAIRE

a + c x a

I I I.

c. AF x

par les termes de l'équation aa — xx

aayy & par les fignes + &—

bb

qui les précedent que x

croiffant, y diminue: car plus x devient grande, plus aa -xx diminue, & par confequent auffi yy; puifque les quantitez conftantes aa, & bb demeurent toujours de même grandeur; ce qui fait voir que les points M & m de l'Ellipfe, s'approchent d'autant plus de l'axe AB, que le point P s'éloigne de C. On voit auffi que l'on ne peut augmenter x que jusqu'à ce qu'elle devienne = a; aúquel cas da xx devient = aa — aa = 0 ; & par confequent auffi yo, ce qui fait voir que les points M & m fe confondent alors avec les points A & B, & que l'El, lipfe coupe l'axe en ces points, comme on a déja remarqué.

COROLLAIRE IV.

aayy étant ré

bb

5. L'EQUATION à l'Ellipse aa — xx = duite en analogie donne aaxx (AP× PB). yy (PM3) :: aa (AC2). bb (CD2) :: 4aa ( AB2) 4bb ( DE2), c'està-dire que le rectangle des deux parties AP, PB de

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