PROPOSITION ΧΙ.

Theorême.

12.UNE équation à la parabole (ax = yy) dont les coordonnées x & y ne font point perpendiculaires, étant donnée, décrire la parabołe.

Soit M le sommet du diametre MO, dont le parame- F 16.57. tre est a, & l'origine des variables x, qui va vers 0, & y qui va vers K en faisant avec MO l'angle oblique OMK. Il faut décrire par M la parabole LMG dont l'équation elt ax = yy.

Ayant prolongé OM & pris MH =a=(Prop. préced.) au quart du parametre du diametre MO, on menera par H la droite HE perpendiculaire à HO, qui sera (Prop. préced.) la ligne generatrice; & ayant fait l'angle KMF = l'angle KMH, pris MF = MH & mené par F la ligne FD parallele à MO qui coupera la generatrice HEen D. Par la Proposition précedente, & par la fixiême, F sera le foyer; FD, l'axe; D le point generateur, & A milieu de FD le sommet de l'axe de la parabole qu'il faut décrire. On la décrira par la premiere Proposition.

DEMONSTRATΙΟΝ.

ELLE eft claire par la Proposition précedente, & par

:

Où l'on démontre les principales propriete de l'Ellipse décrite par des points trouvez

FIG. 58. XII.

:

U

fur un Plan.

PROPOSITION I.

Theorême.

NE ligne droite AB, divisée par le milicu enC, & deux points fixes F, G également diftans du milieu C, ou des extrémitez A & B, étant donnée de grandeur & de position; si l'on prend entre F & G un point quelconque H, & que du centre F & du rayon AH; du centre G & du rayon BH, l'on décrive deux cercles ; ces deux cercles se couperont en deux points M, m de part & d'autre de la ligne AB; puisque leurs demi diametres furpassent FH + HG. Et je dis que les points M & m, & tous ceux qui seront trouvez de la mème maniere, en prenant d'autres points H, seront à une Ellipse dont C cft le centre, AB le grand axe, DE l'axe conjugué à l'axe AB, qui est double de la moyenne proportionnelle entre AF & FB, ou AG & GB.

DEMONSTRATION.

D'UN des points M, trouvez comme on vient de dire, ayant abbaisse la perpendiculaire MP, mené FM & GM, & nommé les données AC, ou CB, a; FC, ou CG, c; & les indéterminées CP, x; PM, y; AP fera, a-x; PB,a+x;FP,c-xou, x-c; & PG, c+x.

Il est clair par la description que FM + MG=A B = 2a; puisque FM=AH, & MG=HB; nommant donc la difference de FM, & MG, 25; F M fera a -S & MG, a + f. Cela posé.

;

Les triangles rectangles FPM, GPM donneront, 2x + xx + yy

= da

- 2af+ff, & cc + 2cx + xx + yy = aa+2af+ff, & en ôtant la premiere de la seconde, le premier membre du premier & le second du second, l'on aura 4cx = 4af, d'où l'on tire

,

a

& mettant cette valeur de s, & celle de fon quarré ff dans l'une des deux premieres équations, l'on

aura cc - 2x + xx + yy = aa

2Cx+

aa

d'où l'on

tire en réduisant, transposant, & divisant par aa - сс

aa-xx

aayy

aa-cc

:

Mais lorsque le point P tombe en C, PM (y) devient CD, & (x) devient nulle, ou = 0; c'est pour

quoi en effaçant le terme l'on a aa

=

— cc = yy = CD', & partant y =+CD : nommant donc CD, 6; l'ona, aa - cc = bb ; d'où l'on tire a - c (AF). b(CD) :: b (CD). a + c (FB). Qui est une des choses qu'il faloit démontrer. Or mettant bb dans l'é

quation aa

a, aa - xx =

= xx

aayy

bb

Et comme cette équation est la

même que celle qu'on a trouvée (Art. 9. no. 10.) il suit que la courbe ADBE est une Ellipse. Ce qui est une des autres choses proposées.

Si dans l'équation aa - xx =

aura xx = aa; donc x = + a, ce qui fait voir que l'Ellipse passe par les points A & B. Et en faisant x = o l'on a trouvé y =+CD qui montre que l'Ellipse AM passe aussi par les points D & E, en faisant CE = CD; c'est

:

:

FIG.59.

pourquoi (Art. 9. no. 6.) AB, est le diametre principal de l'Ellipse; DE son axe conjugé, & C le centre. Ce qu'il faloit enfin démontrer.

On peut réfoudre cette équation aa – xx

aayy aa-cc

par

le cercle. Mais il faut la changer en celle-ci aa - cc =

Pour trouver toutes les inconnues, u, x, y, z, 10. d'un rayon qui ne soit pas moindre que la moitié d'AB = 2a décrivez le cercle ABG, inscrivez-y la corde AB=2a, fur laquelle vous prendrez AD = a + c, & DB=a-c par le point D menez une autre corde EG. Et parce que dans l'analogie D, a est plus petit que a, il faut prendre DG = u plus grand que + AB.

au

A présent pour avoir x, à cause de l'analogie D, on aura xu = aa, ou, au - aa = ux ; ainsi nous aurons cette analogie E. u. a :: a.x. On trouvera x en faisant FIG. 60. l'angle CAF, & prenant AF = u, BF = u — a, AC =a, les paralleles CF & BD menées, donnent DC=x. FIG. 61. Enfin pour avoir y, menez, à cause de l'analogie B, la ligne AB, fur laquelle vous prendrez AD = a + x (AK + DC), DB=z. De C milieu de AE, & de l'intervalle AC ou CB, décrivez le demi cercle ALB, la perpendiculaire DL = y.

1.

DEFINITIONS.

FIG. 58. Les points F & G font nommez les foyers de l'Ellipfe; CP, l'abciffe, ou coupée, & PM, ou Pm l'ordonnée, ou l'appliquée à l'axe AB.

1

COROLLAIRE I.

2. I L est clair que les lignes FM, GM menées des foyers

à la circonference de l'Ellipfe font, par la description, ensemble égales à l'axe AB, & que IPM = Pm.

3. IL est aussi évident que le rectangle des deux parties AF, FB ou AG, GB dēl’axe AB faites par un des foyers F, ou G, est égal au quarré du demi axe conjugué DC: car dans la Démonstration précedente l'on a trouvé aa - cc = CD2. Or aa - cc = a + c xac, AF x FBCD2.

COROLLAIRE III.

4. On voit par les termes de l'équation

aayy

bb

aa

=xx

& par les signes + & - qui les précedent que x croissant, y diminue : car plus x devient grande, plus aa - xx diminue, & par confequent aussi yy; puisque les quantitez constantes aa, & bb demeurent toujours de même grandeur; ce qui fait voir que les points M & m de l'Ellipse, s'approchent d'autant plus de l'axe AB, que le point P s'éloigne de C. On voit aussi que l'on ne peut augmenter & que jusqu'à ce qu'elle devienne = a; auquel cas da xx devient = aa - aa = 0 ; & par confequent auffi y = 0, ce qui fait voir que les points M & m se confondent alors avec les points A & B, & que l'El. lipse coupe l'axe en ces points, comme on a déja remarqué.

COROLLAIRE IV.

bb

5. L'EQUATION à l'Ellipse aa - xx = a étant réduite en analogie donne aa - xx (APxPB). yy (PM2) :: aa (AC2). bb (CD2) :: 4aa (AB2) 4bb (DE2), c'est. à-dire que le rectangle des deux parties AP, PB de