22.. D'où il est aisé de voir qu'on peut faire la même chose d'une maniere plus courte, en multipliant les Exposans de la grandeur donnée par l'Exposant de la puifsance à laquelle on veut élever cette grandeur. Ainsi la II 3e puissance de ab, ou a best a 3 3×4 12 1X3 1X3 33 =a b; la 4e puif 3 23 fance de a est a =a; la ze puissance de aab, ou a b eft a 2×3 3×3 IX3 =+a'; la quatrième puissance de 1x4 4 I - a eft-a =-a, & en general la puissance n de a La puissance n de-a esta, selon que n fi gnifie un nombre pair, ou impair. 23. Il est clair (n°. 14, & 15) que pour multiplier un produit ou une puissance par un autre produit, ou par une autre puissance où se trouvent les mêmes lettres, il n'y a qu'à ajouter leurs Exposans. 24. ON multipliera tous les termes de l'une des quantitez par chacun de ceux de l'autre, en obfervant les Regles prescrites n°. 14, & 15, & l'on aura le produit total que l'on réduira (no. 11.) à sa plus simple expression. b EXEMPLES. 25. SO IT la quantité à multiplier par Produits particuliers. Produit total. A. a+26- с. С.гаа+4ab-гас. D. +зав +666-3bc. E. 2aa7ab2ac66b-360. Le premier terme 2a de la quantité B multipliant tous les termes de la quantité A donnera la quantité C. Le second terme 36 de la quantité B, multipliant tous les termes de la quantité A donnera la quantité D; & ayant fait la réduction des deux quantitez C & D, l'on aura la quantité E qui sera le produit des deux quantitez Le premier terme aa de la quantité B, multipliant la quantité A produit la quantité C. Le 2o terme - bb de la quantité B multipliant la quantité A produit la quantité D, & en réduisant les produits particuliers C & D, l'on a le produit total E. Donc aa+bb -6. x aa-bba' 27. On se contente quelquefois pour exprimer la multiplication de deux quantitez complexes, d'écrire entre deux le signe de multiplication. Ainsi pour multiplier a+b par a-b, l'on écrit a+b xa-b,oua+b x a-b. Il en est ainfi des autres. :: FORMATION Des puissances des quantitez complexes. 28. POUR élever une quantité complexe à une puissance donnée, il faut, comme pour les quantitez incomple 4 xes, la multiplier confécutivement autant de fois moins une que l'exposant de la puissance donnée contient d'unitez. Ainsi pour élever a + b, à la ze puissance, il faut (no. 24.) multiplier a+b par a+b, ce qui donne aa+2ab +bb, qui étant encore multipliée par a+b, donne a2 + zaab+3abb+b3, qui est la 3e puissance, ou le cube de a+b. Il en est ainsi des autres. On peut abreger l'operation lorsqu'il s'agit d'élever un polynome au quarré. 29. On écrira le quarré du premier terme + ou deux fois le rectangle ou produit du premier par le second, + le quarré du second; & ces trois termes feront le quarré cherché, si c'est un binome. Mais si c'est un trinome, on écrira encore + ou - deux fois le produit des deux premiers par le troisiême + le quarré du troisiême. Si c'est un quadrinome, on écrira encore + ou deux fois le produit des trois premiers par le quatriéme. + le quarré du quatrième, & ainsi de suite. Ainsi le quarré de a-b+c est aa - 2ab+66+2ac26c + cc. On a mis ici cette abréviation, parceque l'on a trèssouvent besoin de cette operation dans l'application de l'Algebre à la Geometrie. Voici une abréviation plus confiderable pour élever un binome à une puissance quelconque. 30. L'on écrira au premier terme la premiere lettre du binome élevée à la puissance donnée; au second la même lettre élevée à une puissance plus basse de l'unité, & multipliée par la seconde lettre; au troisiême, la même lettre élevée à une puissance encore plus basse de l'unité & multipliée par le quarré de la seconde ; & ainsi de fuite, en abaissant à chaque terme la puissance de la premiere lettre de l'unité, & élevant au contraire celle du second de l'unité, jusqu'à ce que l'on arrive au terme, où la même premiere lettre n'aura qu'une dimenfion qui sera le pénultiéme, & l'on écrira au dernier terme la seconde lettre élevée à une puissance égale à celle du premier. Ainfi pour élever a+b à la quatrième puissance, l'on écrira; A. a+ab+aabb+ab+6+. Si le binome est tout pofitif, tous les termes de la puissance auront le signe +; si la seconde lettre est négative, les termes où elle se trouvera élevée à une puissance impaire, ou dont l'exposant est un nombre impair, auront le signe-, & tous les autres le signe+, comme on voit dans la puissance A. Il reste encore à trouver les coefficiens; en voici la Méthode. On donnera au second terme pour coefficient l'exposant du premier; on multipliera le coefficient du second par l'exposant que la premiere lettre a du binome a au même second & le produit divisé par 2, sera le coefficient du troisiême. De même, le coefficient du troisiême multiplié par l'exposant que la premiere lettre a au même troisiême ; & le produit divisé par 3, sera le coefficient du quatriême ; & ainsi de suite. De maniere que le coefficient d'un terme quelconque multiplié par l'exposant que la premiere lettre du binome a dans le même terme, & le produit divisé par le nombre qui marque le lieu que ce même terme occupe dans l'ordre des termes de la puissance, est le coefficient du terme suivant. Ainsi la 4e puissance du binome a + b entierement formée est, a+4a3b+6aabb+4ab + b+. Il en est ainsi des autres. S'il y a quelque nombre entier ou rompu qui précede l'un des deux, ou tous les deux termes du binome, on multipliera le coefficient de chaque terme de la puis sance par une puissance de ce nombre égale à celle où la lettre qu'il précede y est élevée. Ainsi pour élever a+ 26 à la ze puissance, l'on y élevera premierement a+b, & l'on aura a3+3aab+3abb + b3, l'on multipliera ensuite les coefficiens des termes où b se rencontre par la puissance de 2 égale à celle où b y est élevée, c'est-à-dire que l'on multipliera zaab par 2, 3abb par 4, & b par 8, & l'on aura a3+6aab+12ab6+86', qui sera le cube de +26. On peut aussi élever par les mêmes regles un binome quelconque p + q à une puissance indéterminée m(m fignifie un nombre quelconque entier ou rompu, positif ou négatif) qui sera, voit que la premiere lettre p du binome a pour exposant dans tous les termes, m moins un nombre entier; c'est pourquoi si ce nombre entier se trouve dans quelqu'un égal à m, l'exposant de p y sera = 0; & par conféquent p = 1, & ce terme sera le dernier de la puissance m du binome p+q. Mais si ce nombre entier ne se trouve jamais = m, la puissance m du binome p + q pourra être continuée à l'infini. 31. Le binome p + q élevé à la puissance m, comme on vient de faire, peut servir de formule generale, pour élever un binome, ou un polynome quelconque à une puissance donnée. Soit par exemple 2ax-xx qu'il faut élever à la 3o puissance. Ayant suppose 2ax=p, xx=q, & m = 3, l'on substituera à la place dep, de q, & dem, leurs valeurs 2ax, - xx, & 3 ; & en la place des puissances de p & de q, les puissances égales de leurs valeurs 2ax &- xx, & l'on aura 8a3x - 12aax++6axs - x pour la puissance cherchée: car m devient = 3 au quatrième terme de la Formule. De même pour élever a+b-cà la troisiême puissance. Ayant suppose a=p, b-cq, & m = 3, l'on aura après les substitutions a2 + 3aab + 3abb + b2 6abc+3acc-3b6c+3bcc-c2. Il en est ainsi заас des autres. 32. On se contente quelquefois pour élever un polynome à une puissance donnée, d'écrire à sa droite l'exposant de la puissance à laquelle on le veut élever. Ainfi -2 pour élever a + b au quarré, on écrit a+b; pour l'éle |