Le premier terme + a' du dividende divisé par le pre. mier + a du diviseur donne pour quotient + aa, & multipliant le diviseur a - b par le quotient + aa, l'on a a' - aab, & ayant écrit a2 + aab au- dessous du dividende, & fait la Réduction, l'on aura la quantité A, que j'appelle premiere Réduction.

Le premier terme - aab de la premiere Réduction A divisé par le premier + a du diviseur, donne pour quotient - 2ab, & multipliant le diviseur a - b par le nouveau terme du quotient 2ab, l'on a - 2aab + 2abb; & ayant écrit + 2aab 2abb au-dessous de la premiere Réduction A, l'on aura la seconde Réduction B.

Le premier terme + abb de la seconde Réduction B, divisé par le premier + a du diviseur donne pour quotient + bb; & multipliant le diviseur a - 6 par +66, l'on abb + b au-dessous de b'; & ayant écrit la seconde Réduction, l'on aura zero pour la troisième Réduction, qui marque que la division est faite, & par

a

abb

consequent que

Premiere Réd. o + a'b - aabb - aacd+2abcd

abcd + ccdd

aa+abcd.

。

Ire Réduction. +12ax3+3aaxx - 4ax - a

1

Donc 9x + 12x - 4x - a

3xx

- aa

51. Il y a des divisions qui ne se font qu'en partie, ce qui arrive lorsqu'il vient une Réduction où toutes les lettres du diviseur ne se trouvent plus, ou bien ne s'y trouvent point dans l'état & dans l'ordre qu'elles gardent dans le diviseur : & en ce cas, l'on écrit le diviseur au-dessous de la derniere Réduction, ce qui forme une fraction que l'on ajoute au Quotient, comme on va voir dans l'exem ple qui suit.

EXEMPLE V.

aabc + ac dd. Produit. -aabc

-abddccdd+dab + cc.

+ abdd

+d

53. Il y a des divisions que l'on pourroit continuer, même à l'infini, quoique tous les termes du diviseur ne se trouvent point dans la derniere Réduction: mais le Quotient deviendroit plus composé, & la division deviendroit inutile; c'est pourquoi, dans ces fortes de divifions, il en faut demeurer à l'endroit, où le Quotient est le plus simple qu'il puiffe être.

54. Il arrive aussi fort souvent que les coeficiens, ou les nombres qui précedent les termes, ou quelqu'un des termes du dividende, ou du diviseur, empêchent que la division ne se fasse, quand même toutes les lettres seroient dans l'une & dans l'autre disposées de maniere que la division se pût faire.

55. Il y a aussi des divisions qui ne se peuvent point du tout faire; ce qui arrive lorsqu'aucun des termes du diviseur ne se trouve point tout entier dans aucun de ceux du dividende: & alors on écrit le diviseur au-dessous du dividende, ce qui forme une fraction que l'on prend pour le Quotient de la division, comme on a dit n°. 34.

L'on a souvent besoin de connoître tous les diviseurs d'un nombre donné, & d'une quantité algébrique donnée pour choisir celui d'entr'eux qui convient à de certaines operations que l'on est obligé de faire; c'est pourquoi nous en allons donner ici la Méthode.

METHODE

Pour trouver tous les Diviseurs d'un nombre donné. 56. IL faut diviser le nombre donné par 2, s'il est posfible, & autant de fois qu'il est possible; ensuite diviser le dernier Quotient par 3, s'il est possible, & autant de fois qu'il est possible; de même par 5, par 7, par 9, &c. jusqu'à ce que le dernier Quotient soit l'unité, ou que le diviseur devienne le nombre proposé, auquel cas, il n'a aucun divifeur que lui-même ; & ayant écrit dans une rangée de haut en bas tous les diviseurs dont on s'est servi, on multipliera le premier diviseur par le 2o, & on écrira le produit à la droite du 2. On multipliera enfuite les deux premiers diviseurs, & le produit qu'on a déja trouvé par le troisième diviseur, & l'on écrira les Produits vis-à-vis le même troisiême diviseur; on multipliera de même tout ce qui est au-dessus du 4o divi

seur par le même 4o diviseur, & l'on écrira les Produits à sa droite, & ainsi de suite, & tous ces Produits feront autant de diviseurs du nombre proposé.

EXEMPLE

SOIT le nombre 150 dont il faut trouver tous les di

Je divise 75 par 3, & j'écris le Quotient 25, & le diviseur 3 fous A, & fous B; je divise 25 par 5, & j'écris le Quotient 5, & le diviseur 5, sous A & sous B; je divise 5, par 5, & j'écris le Quotient 1, & le diviseur 5 sous A, & fous B. Cela fait, je multiplie le premier diviseur 2 par le second 3, & j'écris le Produit 6 à côté de 3. Je multiplie tout ce qui est au-dessus du 3a diviseurs par lui-même, & j'écris les Produits 10, 15, 30, à sa droite; enfin je multiplie tout ce qui est au-dessus du 4o diviseur 5, par luimême, & j'écris les Produits 25, 50, 75, & 150; (car on néglige 10, 15 qui s'y trouve déja) comme on les voit. Il est clair que tous ces nombres qui sont du côté de B peuvent diviser sans reste, le nombre donné 150.

57. C'est la même regle pour les quantitez algebriques. Soit par exemple, la quantité a3+ aabb, dont il faut trouver tous les diviseurs.

Je divise a'b+aabb par a, & j'écris le Quotient aab + abb,