II. THEORIE Des Raifons, ou Raports des Fractions, des R DEFINITIONS. AISON, ou Raport est la comparaison de deux grandeurs de même genre, telles que font deux nombres, deux lignes, deux furfaces, deux corps, corps, deux efpaces de temps, deux quantitez de mouvement, deux viteffes d'un même, ou de deux differens mobiles, deux poids, deux fons, &c. Or comparer les grandeurs, c'eft operer fur les gran. deurs; & comme l'on ne peut operer fur les grandeurs qu'en les ajoutant, fouftrayant, multipliant, divisant, & en extrayant les racines; il faut neceffairement que leur comparaison se faffe par quelques-unes de ces opera tions. Mais parceque l'Addition, & la Multiplication les confondent, & n'en marquent point l'égalité, ou l'inégalité, en quoi confifte précisément la comparaifon des grandeurs, & que l'extraction des racines n'agit que fur une feule, & qu'au contraire la Souftraction fait connoître l'égalité de deux grandeurs, ou l'excès de l'une par-deffus l'autre, ou la difference de l'une à l'autre, & que la Divifion détermine combien de fois une grandeur en contient, ou eft contenue dans une autre; ou, ce qui est la même chose, indique la maniere dont une grandeur en contient, ou eft contenue dans une autre, ou en marque l'égalité; il fuit qu'il n'y a que la Souftraction & la Divifion qui puiffent fervir à comparer les grandeurs. 1. La comparaifon de deux grandeurs par la Souftraction; ou, ce qui eft la même chofe, la Souftraction ellemême, est nommée raison ou raport arithmetique. Ainsi 12-4; a—b, ou b―a, &c. font des raisons ou des raports arithmetiques. 2. La comparaifon de deux grandeurs par la Division; ou, ce qui est la même chofe, la Division elle-même est appellée raison, ou raport géometrique. Ainfi 12, ou b 4 u; I 2 , ou, &c. font des raisons ou des raports géometriques. On prend ici la Soustraction indiquée pour la Souftraction même, ou pour la difference des deux grandeurs qui la compofent; & l'on prend de même la Division indiquée pour la Division même, ou pour le Quotient des deux quantitez qui la forment. On appellera dans la fuite Réduction, le résultat de ces deux Regles ou de ces deux Raports, c'est-à-dire, la difference & le Quotient des deux quantitez qui les compofent. 3. IL eft clair que les raisons ou raports tant arithmetiques que géometriques, font égaux Îorsque leurs Réductions font égales. Ainfi 12-4=16-8, parceque 12 I 2 9 = 48, & 16 -88. De même 9 4 3' parceque ==3&=3. Par la même raison, si ;=f&q=f; 4 4. Mais les Réductions, ou les Quotiens des divifions, ou des raports geometriques, font toujours égaux, lorf que les dividendes contiennent, ou font contenues de même maniere dans les diviseurs. C'eft pourquoi lorfqu'une grandeur a contiendra, ou fera contenue dans une autre grandeur b, comme une troifiême c contient ou eft contenue dans une quatriême d, ces quatre grandeurs formeront toujours deux raports géometriques égaux, COROLLAIRE II. COROLLAIRE I I.. IL eft de même évident que les raisons, ou raports tant arithmetiques que géometriques, font inégaux, lorsque leurs Réductions font inégales, & que le plus grand eft celui dont la Réduction eft la plus grande. Ainfi 12-4> ΙΟ 6: car 12 •4=8, & 10 64. De même 12> 1: car 1=3, & 16 2. 8 2 8 b 6. Le premier terme d'un raport arithmetique, & le terme fuperieur d'un raport géometrique, font nommez antecedens; le fecond d'un raport arithmetique, & l'inferieur d'un raport géometrique, font nommez confequens. Ainfi dans les raports a -b, & %, a eft l'antecedent, & b le confequent: mais comme les raisons ou les raports géometriques ne font autre chofe que des Divifions indiquées, & que ces Divifions font, à proprement parler, des fractions; il fuit qu'il n'y a aucune difference entre raison, raport, divifion, & fraction; de forte que tout ce qu'on dira dans la fuite des uns, fe doit auffi entendre des autres. On remarquera feulement que pour parler comme les autres, lorfqu'il s'agira des raisons ou raports, on appellera les deux termes antecedent & confequent; lorfqu'il s'agira de Divifions, on les appellera dividende & divifeur ; & lorfqu'il s'agira de fractions, on les appellera numerateur & dénominateur. 7. Lorfque l'antecedent d'une raison est égal à fon confequent, on l'appelle raifon d'égalité ; & lorfque l'un furpaffe l'autre, on l'appelle raifon d'inégalité. 8. Lorfque l'antecedent d'un raport géometriqué, contient plufieurs fois exactement fon confequent, il eft nommé multiple de ce confequent; & lorfque l'antecedent est contenu plufieurs fois exactement dans fon confequent, il eft nommé foùmultiple du même confequent. 9. De tels raports tirent leur dénomination du nombre de fois que l'antecedent contient le confequent, ou f. y eft contenu. De forte que fi l'antecedent contient deux, trois, quatre fois, &c. fon confequent, le raport fera nommé double, triple,quadruple, &c. & fi l'antecedent est contenu deux, trois, quatre fois, &c. dans le confequent, le raport sera nommé foudouble, foûtriple, foù quadruple, &c. Ainfi est un raport triple, & eft un raport foûtriple. 10. On appelle équation deux quantitez algebriques differentes, entre lefquelles fe trouve le figne d'égalité ; ainfi a=b; ax—xx—yy ; x font des équations. ab 11. Les deux quantitez algebriques qui fe trouvent de part & d'autre du figne d'égalité font nommées membres de l'équation; celle qui le précede eft nommée le premier membre, & celle qui le fuit, le fecond. D'où l'on voit que les deux membres d'une équation font les expref fions algebriques d'une même quantité, ou de deux quantitez égales. I 2. COROLLAIRE. 2.IL eft évident que deux raports égaux arithmetiques, ou géometriques, peuvent toujours former une équation. Ainfi fi a furpaffe, ou eft furpaffée par b, de la même quantité que c furpasse ou est surpaffée par d, l'on aura toujours abcd, ou b―ad—c. De même fi a contient ou eft contenue dans b, comme c contient ou est contenue dans d, l'on aura toujours, ou 13. Mais fi au lieu de former une équation de deux raports égaux, arithmetiques, ou géometriques, on arrange leurs quatre termes de fuite, en forte que l'antecedent de l'un des deux raports foit le premier, fon confequent, le fecond; l'antecedent de l'autre raport, le troifiême, & fon confequent le quatrième, en féparant les deux raports par quatre points, & les deux termes de chaque raport par un seul point, en cette forte a. b: c. d2 (en fuppofant que a—b—c―d, ou =); on appellera proportion, ou analogie cette difpofition des quatre termes de deux raports égaux. De forte que proportion ou analogie, n'est autre chofe que l'égalité de deux raports arrangez autrement qu'en équation. Si les raports font arithmetiques, on la nommera proportion arithmetique s'ils font géometriques, on la nommera proportion géometrique. 14. Pour énoncer une proportion, comme celle-ci a. b::c. d; on dira, fi elle eft arithmetique, a surpasse b ̧ ou eft furpaffée par b, comme c furpaffe d, ou eft furpas fée par d; & fi elle eft géometrique, on dira a contient b ou eft contenue dans b, comme c contient d, ou eft contenue dans d. Mais pour abreger, soit que la proportion foit arithmetique, où géometrique, on dit a eft à b, comme c eft à d, ou comme a eft à 6, ainsi c est à d, en observant neanmoins que le mot eft fignifie furpaffe, ou eft furpaffe dans la proportion arithmetique; & que dans la géometrie, il fignifie contient ou eft contenu. L'on diftingue deux fortes de proportions, tant arithmetiques que géometriques, la difcrete, & la continue. 15. La proportion difcrete eft celle dont les mes font differens, comme celle ci a. b:: c. d. quatre ter 16. La proportion continue, eft celle où la même quantité eft le confequent du premier raport & l'antecedent du fecond, comme celle-ci a. b: b. c. 17. Les quantitez qui forment une proportion font nommées proportionnelles. Ainfi la proportion difcrete renferme quatre proportionnelles, & la continue n'en renferme que trois, & celle du milieu eft nommée moyenne proportionnelle, arithmetique ou géometrique, felon que la proportion est arithmetique ou géometrique, & dans l'une & dans l'autre proportion, le premier & le dernier termes font nommez extrêmes, & les deux du milieu, moyens. 18. Lorsqu'une proportion continue renferme plus de |