étoient differens, cela n'apporteroit aucun changement dans l'operation. C'est aussi parceque les puissances des quantitez égales font égales, que l'on peut délivrer une équation des quantitez irrationnelles qui s'y rencontrent: ce qu'on appelle faire évanouir les signes radicaux: car s'il ne s'y en rencontre qu'une, après l'avoir mise seule dans un des membres de l'équation par les Corollaires précedens; il n'y aura qu'à élever chaque membre à la puissance qui a pour exposant celui du signe radical. Ainsi pour délivrer des quantitez irrationnelles, cette équation xx=a-xx √xx+yy, l'on aura en divisant par a -x, xx ax = √xx + yy, ou en divisant par √xx + yy, vxx+yy -x, & en quarrant chaque membre, l'on aura C a xx+yy aa - 2ax+xx, où il n'y a plus de quantitez irrationnelles. Mais s'il se rencontre deux quantitez irrationnelles dans une même équation, on la délivrera de l'une, & ensuite de l'autre comme on vient de dire. Par exemple, pour délivrer de quantitez irrationnelles, cette équation Vxx+yy+Vaa-2ax+xx+yy=6, l'on aura en tranfb- √xx + yy, & en 2ax + xx + yy + = posant, Vaa =bb 2ax + xx+ yy=bb 2b√xx + yy + xx+yy, & en ôtant ce qui se détruit par la réduction, & transposant, il vient 2bvxx+yy -aa+2ax, & en quarrant encore chaque membre, l'on a 46bxx+4bbyy=b*- 2 aabb + a + 4abbx-4ax +4aaxx, où il n'y a plus de quantitez irrationnelles. ΑΧΙΟΜE III. 25. ON peut mettre en la place d'une quantité quelconque incomplexe ou complexe, une autre quantité égale incomplexe, ou complexe, ce qu'on appelle substituer: C'est par le moyen de cet Axiome que l'on réduit plusieurs équations à une feule, & que l'on en fait évanouir les lettres que l'on veut, pourvû que chacune de ces lettres, ou quelques-unes de leurs puissances se trouvent au moins dans deux de ces équations, & que l'on ait au moins une équation de plus qu'il y a de lettres que l'on veut faire évanouir. En voici la Méthode. 26. On choisit une des équations (c'est ordinairement la plus simple) & l'on met seule (axio. 1. & ses Coroll.) la lettre qu'on veut faire évanouir, dans un des mem. bres; (c'est ordinairement dans le premier), & l'on fub. stitue dans les autres équations, en la place de cette lettre, ou de ses puissances, sa valeur, ou celle de ses puissances, qui se trouve dans l'autre membre de l'équation que l'on a préparée; en forte que cette lettre ne se trouve plus dans aucune, & l'on a alors une équation de moins. On recommence de nouveau à choisir la plus simple des équations résultantes, & l'on met seule dans le premier membre, la lettre qu'on veut faire évanouir, & l'on fubstitue comme auparavant la valeur de cette lettre dans les autres équations. On réïtere la même operation jusqu'à ce que l'on ait fait évanouir l'une après l'autre, toutes les lettres que l'on a dessein de faire évanouir, ou jusqu'à ce que l'on n'ait plus qu'une seule équation. On va éclaircir ceci par des Exemples. EXEMPLES. 15. SOIENT les trois équations A, B, C, dont on veur faire évanouir les deux lettres x & y. B. C. x-y=A. Е. x- b + z=a. x+y=B. F. az+bz-zz=66-262+ㄨ G. 222=362+az-bb. 6 Je choisis l'équation C pour faire évanouiry, & j'en tire y z, & en quarrant chaque membre (parceque le quarré de y se trouve dans l'équation A,) j'ai yy = 66-26z+zz, & mettant dans l'équation A, pour yy sa valeur bb-2bz+zz, & dans l'équation B, pour y Ta valeur b-z, j'ai les deux équations D & E, où y ne se trouve plus. Je choisis de nouveau l'équation E pour faire évanouir x, & j'en tire x = a+b-z, & mettant dans l'équation D pour x sa valeur a+b-z, j'ai l'équation F, qui devient par la réduction, & par la transposition, l'équation G, où x & y ne se trouvent plus. 2o. Soient les deux équations aa+2ax+xx=2yy+2by +bb, & yy+by= =aa+ax, d'où il faut faire évanouir y. Je remarque que si la seconde équation étoit multipliée par 2, l'on auroit 2yy + 2by = 2aa+2ax, où les termes où y se trouve, sont les mêmes que dans la premiere; c'est pourquoi si l'on met dans la premiere pour 2yy + 2by sa valeur+2aa+2ax tirée de la seconde, après l'avoir multipliée par 2, l'on aura aa + 2ax + xx = 2aa2ax+bb, qui se réduit à xx = aa+bb. Il en est ainsi des autres. 27. On peut encore par le moyen de cet Axiome faire certains changemens dans une équation en faisant certaines suppositions. Par exemple, si l'on a x = aab, en supposant ay=xx ; & mettant cette valeur de xx dans l'équation x'= aab, l'on aura axy = aab, ou xy=ab; en divisant toute l'équation par a. De même, si l'on a xx=ax+bb, en supposant ac=bb, a l'on aura xx=ax+ac; -ac; & fi l'on xx=ax+ac, en fupposant bb=ac, l'on aura xx = ax + bb. Ce qu'on appelle changer un rectangle en quarré, ou un quarré en rectangle. On a souvent besoin de faire ces changemens. Pour ce qui reste à dire sur les équations: voyez l'Application de l'Algebre à la Geometrie, Section I. art. 2 & 3. On trouve dans les Ouvrages de plusieurs Sçavans Geometres un grand nombre de Theorêmes démontrez sur les raports, proportions, & progressions; mais il y manque la Méthode de les démontrer tous par le même principe, qui est ce qu'il y a de plus à desirer tant en cette occafion que dans toutes les autres parties des Mathematiques. On pourroit tirer de ce que nous avons dit, no. 18, 19, 1 20 & 21, une Méthode pour demontrer très-facilement toutes les proprietez des proportions, & des progressions tant arithmetiques que geometriques : mais elle n'est pas affez generale, & ne convient qu'aux grandeurs proportionnelles; c'est pourquoi je me suis déterminé à prendre une autre voye, qui convienne tout à la fois, non seulement aux grandeurs proportionnelles, mais encore à tous les Theorêmes que l'on se propose de démontrer par l'Al gebre dans toutes les parties des Mathematiques. Voici le principe. PRINCIPE. 28. APRE's avoir nommé les quantitez qui doivent entrer dans la question par des lettres, l'on écrira l'Hypothese en équation, & la consequence aussi en équation; & en suivant les trois Axiomes précedens, & leurs Corol. laires, on fera en sorte de rendre l'Hypothese semblable à la consequence, & alors le Theorême sera démontré. Et si les termes de l'équation qui renfermera la consequence, se trouvent entierement semblables; de forte que par la réduction, elle puisse devenir o = 0. Le Theorême sera aussi démontré: car les termes d'une équation ne scauroient être entierement semblables sans être égaux, & ne sçauroient se détruire sans être semblables. EXPLICATION DU PRINCIPE. 10. UN Theorême contient deux parties, l'Hypothese & la Consequence; l'Hypothese est ce que l'on y suppose; & la Consequence est la verité qu'il s'agit de démontrer. 29. Le principe demande qu'on écrive toujours l'Hypothese en équation. Souvent l'Hypothese renferme cette équation, ou une proportion qu'il est aise de changer en équation: car si l'ona, a. b :: c. d, l'on aura (no. 11.) a-b c-d, si la proportion est arithmetique, & ÷=÷ d ٢٠٠ 6 si la proportion est geometrique, puisque proportion n'est autre chose que l'égalité de deux raports. 30. Si l'Hypothese ne renferme ni équation ni proportion, on égalera les quantitez qu'elle renferme à d'autres lettres prises arbitrairement, & l'on aura par ce moyen des équations, comme on verra par les Exemples. 40. On tirera de l'Hypothese autant d'équations qu'on pourra : car cela ne peut que faciliter les moyens de rendre I'Hypothese semblable à la Consequence. Lorsqu'il s'agit de démontrer quelques proprietez tou chant les grandeurs inégales, & touchant les raports inégaux, l'on exprimera l'Hypothese, & la consequence par le moyen du signe, ou <, en cette forte a > d ou <b> ou <, & on se servira de ces expressions, que l'on pourroit appeller inégalitez, comme si c'étoient des équations: car il est clair qu'on peut ajouter, soustraire, multiplier, & diviser les deux membres de ces inégalitez par une même quantité, ou par des quantitez égales, les combiner, comme on voudra avec des équations, les élever à des puissances, en extraire les racines; en un mot, on peut les traiter à la maniere des équations, pourvû qu'on ne les combine point ensemble, (si ce n'est par addition & par multiplication: car quoique 1 2 > 8 & 6 > 1, l'on a 12-648-1 &<) sans que le membre le plus grand cesse d'être le plus grand; de forte qu'on aura les mêmes moyens de rendre l'Hypothese semblable à la Consequence, ou la Consequence semblable à l'Hypothefe, que si c'étoit des équations, & de démontrer par confequent toutes les proprietez des raports inégaux, de la même maniere que celle des rapports égaux. 5o. Il est quelquefois à propos & même necessaire, pour rendre plus facilement l'equation qui renferme l'Hypothese semblable à celle qui renferme la Consequence, de nommer les grandeurs proportionnelles, comme nous avons dit no. 19, 20, 21 & 22; & de nommer par les mê mes lettres les quantitez inégales qui ne font point proportionnelles, en caracterisant les unes par quelque signe, ou par quelque lettre qui fasse voir leur inégalité. Par |