exemple, si l'on veut démontrer quelque proprieté qui convienne à trois grandeurs differentes A, B, C; ayant nommé A, a, au lieu de nommer B, b; & C, c; on peut nommer B, ma, (m signifie multiple, ou foùmultiple) ou a+p; & C, na (n signifie multiple, ou foûmultiple, different de m), ou a +p+r, en se servant du signe+ou-, selon que les quantitez qu'on veut exprimer, font moindres, ou plus grandes que celle qui est exprimée par la premiere lettre a. Ce qu'on dira dans la suite des raports & des proportions, se doit entendre des raports & proportions geometriques, à moins qu'on n'avertisse que c'est des raports & proportions arithmetiques qu'on veut parler. 29.SI quatre grandeurs a, b, c, d, font en proportion geometrique, le produit des extrèmes fera égal au produit des moyens. Il faut prouver que si a. b :: c. d, l'on aura ad = bc. a L'on a par l'Hypothese a. b :: c.d; donc ( no. 11.) d ÷=÷: or il eft clair (Axio. 1. Coroll. 4.) qu'en ôtant les fractions, on aura ad=bc, qui est semblable à la Consequence. C. Q. F. D. 30. On prouvera de même que dans une proportion continue le produit des extrêmes est égal au quarré de la moyenne. Ainsi si a. b :: b. c, l'on aura ac = bb. Ce Theorême fournit un autre moyen dont nous nous fervirons dans la suite, de changer une proportion en équation. er Icr. COROLLAIRES. a, b, IL fuit que connoissant trois des termes a, ,c, d'une proportion, on pourra toujours trouver le 4e que je nomme x: car puisque (Hyp.) a. b :: c. x, l'on aura (no. 29.) ax = bc; donc en divisant toute cette équation par a, bc l'on aura x= d'où l'on voit que la valeur de be divi 一, sée par la valeur de a, donnera celle de x. 1 = ab; * 2o. De même dans la proportion continue, connoissant les extrêmes a & b, on trouvera la moyenne que je nomme y; car puisque (Hyp.) a.y::y. b, l'on aura yy & partant (Axio. 2.) y=+Vab; c'est pourquoi la racine de la valeur de ab sera la valeur de y. Les valeurs negatives ne fatisfont point aux Problêmes. On en expliquera l'usage ailleurs, A THEOREME II. 31. LES racines des produits qui forment chaque membre d'une équation sont reciproquement proportionnelles, c'est-àdire qu'en prenant les racines d'un des membres pour les extrè. mes, & les racines de l'autre pour les moyens, ces quatre racines formeront une proportion. Soit l'équation abc=dfg. Il faut prouver que ab. df :: f: g. c, ou afin que la consequence soit en équation ab g = car l'équation ne peut être vraye que la proportion ne le foit auffi. En divisant toute l'équation abc = dfg, par gc, l'on 1. ON peut tirer de la même équation abc = dfg plu. sieurs autres proportions, & les démontrer de la même maniere, pourvû qu'on prenne les extrêmes dans un membre, & les moyens dans l'autre, & qu'on garde la Loi des Homogenes, c'est-à-dire que les termes de chaque raport ayent un pareil nombre de dimensions : par exemple, on en peut tirer a. d::fg.bc; b. f::dg.ac, &c. mais quoiqu'on le puisse, on n'en doit pas tirer a. df :: g. bc : car on compareroit des quantitez de differens genres, comme une ligne avec un plan. Il en est ainsi des autres. 25. Il est clair qu'afin qu'une équation puisse être ré duite en proportion, il faut que chaque membre soft le produit de deux quantitez qui se puisse séparer par la division; c'est pourquoi il est souvent necessaire de la changer d'état pour la réduire en proportion. Par exemple, on ne peut réduire cette équation xx = ax + bb en proportion dans l'état où elle est : car le second membre ne peut être divisé par aucune quantité : mais en transposant, l'on a.x=bb, d'où l'on peut tirer x . b :: b.x – a. De celle-ci xx = aa - bb, on peut tirer a - b . x :: x. a + b. De celle-ci xx=aa+bb, ou xx aa=bb, on peut tirer x-a.b :: b.x+a. Mais pour changer celle-ci xx=aa a xx bc en proportion; il faut changer be en un quarré, ou aa en un rectangle dont un côté soit b, ou c; faisant donc, par exemple, bc=dd, l'on aura xx = aa — dd, d'où l'on tire a - d. x :: x . a + d. Il en est ainsi des autres. ab C 3o. Il suit aussi qu'un raport ou une fraction comme est un des termes d'une proportion, & renferme les trois autres: car faisant = x, l'on aura en multipliant par c, ab ab cx ; donc (no. 31.) c.a :: b.x, ouc.a :: b. remettant pour x sa valeur ab C 4. Il suit aussi des deux Theorêmes précedens que si quatre grandeurs a, b, c, d, sont proportionnelles, c'està-dire que a. b :: c. d, elles seront aussi proportionnelles dans les quatre variations suivantes. 1. a. c:: b. d, ce qu'on appelle, permutando. 2. b. a:: d. c, ce qu'on appelle, invertendo. 3. a+b.b:c+d.d, ce qu'on appelle, componendo. 4. a-b. 6::c-d. d, ce qu'on appelle, dividendo. Car fi les équations que l'on tirera (n°. 29.) de ces quatre analogies sont vrayes, les analogies le seront auffi. Or la premiere & la seconde analogie donnent ad=bc, la troisieme donne ad + bd = bc + bd, & la quatriéme ad -bd=bc-bd:mais l'Hypothese a. b::c.d, donne ad=bc, qui qui est la premiere équation, & qui montre par consequent la verité des deux premieres analogies. Si l'on ajoute, & fi l'on soustrait bd de chaque membre de l'équation ad=bc tirez de l'Hypothese, l'on aura ad +bd=bc+bd, & ad -bd=bc - bd, qui sont semblables aux deux dernieres équations tirées des deux dernieres ana- logies, & qui en font par consequent voir la verité. Il y a encore d'autres variations dans les proportions que l'on démontrera avec la même facilité. THEOREME III. } 32. SI deux grandeurs quelconques a &b, sont multipliées par une mème grandeur c, rationnelle, ou irrationnelle, les produits ac & bc, feront en mème raison que les mêmes quantitez a & b. Il faut prouver que ac. bc :: a. b, ou, afin que la consequence soit en équation, que (no. 29.) abc = abc. Parceque les deux membres de cette équation sont semblables, il suit (no. 29, & 31.) que ce qui étoit proposé est vrai. COROLLAIRE S. 1. IL est clair qu'on peut multiplier les quatre termes d'une proportion, ou l'un ou l'autre des deux raports qui la forment, ou les deux antecedens, ou les deux consequens de ces raports, par telle quantité qu'on voudra, fans que ces raports cessent d'être égaux. 25. Et parceque les raports, ou les divisions indiquées sont des fractions, il suit qu'on peut multiplier les deux termes d'une fraction par telle quantité qu'on voudra, sans que cette fraction change de valeur. Ainsi en multipliant les deux termes par c. a b ac bc 3o. Une quantité quelconque, qui n'est point fractionnaire devient une fraction étant comparée à l'unité, ce qui n'y change rien, c'est pourquoi toute quantité qui n'est point fractionnaire, peut être changée en une fraction, b dont le dénominateur sera telle quantité qu'on voudra. Ainsi a ou a I ab کا en multipliant chaque terme par b. 4. Il suit aussi qu'on peut donner à des fractions des dénominateurs semblables, lorsqu'elles en ont de differens, ce qu'on appelle réduire les fractions à mème dénomination : car pour cela, il n'y a qu'à multiplier les deux termes de chacune par le dénominateur de l'autre, s'il n'y en a que deux. Ainsi pour réduire à même dénomina ab df tion & , ayant multiplié les deux termes de la pre miere par g, & ceux de la seconde par c, l'on aura cdf & cg abg cg S'il y en a un plus grand nombre, on multipliera les deux termes de chacune par le produit des dénominateurs des autres. Ainsi pour réduire a d mination; ayant multiplié les deux termes de la premiere par fg, ceux de la seconde par dz, & ceux de la troisième Il se trouve souvent des fractions que l'on peut réduire à même dénomination, sans les changer toutes d'expression. abb gh Ainfi & ", feront réduites en même dénomination, en multipliant les deux termes de la seconde par d: car l'on aura dgh cd 5°. Il fuit encore que c'est la même chose de diviser le dénominateur d'une fraction, par une quantité quelconque, ou de multiplier son numerateur par la même quanțité. Ainsi |