figne +, ou plutôt qui ne font précedées d'aucun signe (car les quantitez incomplexes, & les premiers termes des quantitez complexes qui ne font précedées d'aucun figne font supposées être précedées du signe +) font nommées positives, & celles qui sont précedées du signe - négatives; d'où il suit que les quantitez complexes font positives, lorsque les termes qui ont le figne + furpassent ceux qui ont le signe-; négatives, lorsque les termes précedez du signe - furpassent ceux qui sont précedez du figne+.

8. Les quantitez incomplexes, & les termes des quantitez complexes qui contiennent les mêmes lettres sont nommées semblables. 2abc & abc sont des quantitez incomplexes semblables; zaab-2aab+ 4abb est une quantité complexe qui renferme deux termes semblables zaab &-iaab; le troisiéme terme 4abb, n'a point de semblable.

9. Pour s'appercevoir plus facilement de la similitude des quantitez algebriques, il faut toujours écrire les premieres lettres de l'Alphabet les premieres, & les autres dans leur ordre, c'est-à-dire par exemple, qu'au lieu d'écrire bac, ou cab, il faut écrire abc.

10. Les nombres qui précedent les quantitez algebriques font nommez coefficiens.

Dans cette quantité aa + 3ab+4bb, 3 & 4 sont les coefficiens des termes 3ab, & 466. L'on prend l'unité pour coefficient des quantitez qui ne font précedées d'aucun nombre, & quoique l'on n'ait point accoutumé de l'écrire, on la doit neanmoins toujours supposer. Ainfi aa doit être regardée comme s'il y avoit laa.

11. IL faut ajouter les coefficiens des termes semblables, lorsqu'ils ont le même signe + ou -, & donner à la somme le même signe: & lorsqu'ils ont differens signes,

il faut soustraire les plus petits coefficiens des plus grands, & donner au reste le signe du plus grand. Ainsi zab+ 2ab étant réduite, devient sab; 4ac + 4ab 6ab devient 4ac-2ab; 3a-sa devient -24; 3abc-abc, ou 3abc-abc, devient 2abc. Il en est ainsi des autres.

Dans tous les calculs algebriques, il ne faut jamais laisser de termes semblables sans être réduits.

ADDITION

Des quantitez algebriques incomplexes & complexes.

12. IL n'y a qu'à les écrire de suite, ou au-dessous les unes des autres avec leurs signes, & réduire ensuite les termes semblables, & l'on aura la somme des quantitez qu'il falloit ajouter ensemble. Ainsi pour ajouter zab 4bc + scd avec 2ab - 3 cd, l'on écrira zab-4bc + scd - 3cd, qui se réduit à sab-4bc+2cd. Pour ajouter sabc-4bcd avec sabd-8abc+ 6bcd, l'on écrira 5abc-4bcd+5abd-8abc+ 6bcd, qui se réduit à sabd -3abc+2bcd. Pour ajouter 6a-36 avec 2a+36, l'on écrira 6a-3b+2a+3b, qui se réduit à 8a. Il en est ainsi des autres.

+2ab

SOUSTRACTION

Des quantitez algebriques incomplexes & complexes.

13.IL n'y a qu'à les écrire de suite, ou au-dessous l'une de l'autre en changeant tous les signes de celles qui doivent être soustraites ; & l'on aura après la réduction des termes semblables, la difference des quantitez proposées.

Pour soustraire 3a-2b+3c de sa-36-50, l'on écrira sa-36-5c-3a+26-36, qui se réduit à 2ab-8c. Pour soustraire 3ab - 2bc+2cd de sab-46c+ + 2cd, l'on écrira sab-4bc+2cd-3ab+2bc-2cd, qui se réduit à 2ab - 2bc. Il en est ainsi des autres.

MULTIPLICATION

Des quantitez algebriques incomplexes, & de leurs puissances.

14. ON est convenu que pour multiplier deux ou plusieurs lettres, il n'y a qu'à les écrire de suite sans aucun signe qui les sépare, & l'on aura le produit cherché. Ainfi pour multiplier a par b, l'on écrira ab. Pour multiplier ab par ac, l'on écrira aabc. Il en est ainsi des autres.

Il y a souvent des nombres, ou coefficiens qui précedent les quantitez algebriques qu'il s'agit de multiplier; il faut aussi avoir égard à leurs signes. Voici la regle qu'il faut suivre.

15. On multipliera les coefficiens, ensuite les lettres, & on donnera au produit le signe + si les deux quantitez sont précedées du même signe + ou -, & on lui donnera le signe -, si l'une des quantitez est précedée du figne + & l'autre du signe-.

Pour multiplier 3a par 26, on dira trois fois deux font fix, a par b fait ou donne, ou est égal à ab; ainsi l'on aura bab pour le produit de 34 x 26. De même zab x-2ab- Gaabb. 3ab x 2cd=+6abcd. sab x cd, ou Icd = sabcd. aab × abb=aaabbb, ou a3bi : car lorsque la même lettre se trouve plus de deux fois dans un produit, on l'écrit seulement une fois, & l'on écrit à sa droite un caractere arithmetique qui exprime combien de fois cette lettre doit être écrite. Ainsi pour aaaa, l'on écrira at; pour aaabbb, l'on a écrit a b'; on peut aussi pour aa écrire as pour bb, b', &c.

DE'FINΙΤΙΟΝ.

16. LE caractere arithmetique qui marque combien de fois une lettre doit être écrite dans un produit, est nommé exposant. Ainfi dans a'b', 3 est l'exposant de a, & 4, celui de b; dans a'b, 3 est l'exposant de a, & i l'exposant de b: car quand une lettre est seule, ou qu'elle ne doit être écrite qu'une fois dans un produit, on doit supposer qu'elle a pour exposant l'unité, quoiqu'on ne l'écrive point. Ainsi a exprime la même chose que a', ou à', a'b, la même que a'b', &c.

REMARQUE.

17. DE même que la multiplication de deux lignes droites engendre ou produit un rectangle, ou un quarré, si elles font égales; la multiplication de trois lignes droites, un parallelépipéde, ou solide; ou un cube, si elles font égales: par la même raison les Algebristes appellent rectangle algebrique, le produit de deux lettres differentes, comme ab; quarré algebrique, le produit d'une lettre par elle-même, comme aa ou a'; folide algebrique, le produit de trois lettres differentes comme abc, ou aab; cube algebrique, le produit d'une lettre multipliée confécutivement deux fois par elle-même, com. me aaa, ou a', ou b3. Mais ils n'en demeurent pas là, & quoiqu'il n'y ait point dans la nature de solide qui ait plus de trois dimensions, ils ne laissent pas que d'en imaginer d'algebriques dont le nombre de dimensions va à l'infini, comme a, a, a, a, ab, aabb, a'bb, a'b', &c. Et ces quantitez algebriques sont d'autant plus composées, que le nombre de leurs dimensions eft grand; de forte qu'un produit algebrique qui a quatre dimensions, est plus composé que celui qui n'en a que trois; celui qui en a trois, est plus composé que celui qui n'en a que deux, &c. Et le nombre des dimensions d'un produit algebrique est égal au nombre d'unitez que contient la somme des exposans des quantitez qui le forment. Par exemple, a'b est un produit de quatre dimensions, parceque 3 exposant de a, + 1 exposant de 64. a'b est un produit de sept dimensions, parceque 3+4=7. Il en est ainsi

des autres.

Ils appellent puissance, ou degré, le produit d'une quantité algebrique multipliée par elle-même une fois, deux fois, trois fois, & ainsi à l'infini. Ainfi 4, ou a est le premier degré, ou la premiere puissance de a ; aa ou a', le second degré, ou la seconde puissance, ou le quarré de as a3, le troisième degré, ou la troisième puissance ou le cube de a; at, le quatrième degré, ou la 4o puissance, ou le quarré quarré de a; a', le cinquiême degré, ou la se puissance, ou le quarré cube de a; a, le fixiême degré, ou la fixiême puissance, ou le cube cube de a; a', le septiême degré, ou la septiême puissance de a, & ainsi à l'infini, d'où l'on voit que les puissances tirent leur nom de leurs exposans.

18. Une puissance peut aussi être regardée comme le produit de deux puissances, ou comme la puissance d'une autre puissance: ainsi a peut être regardée comme le produit de a x at, ou comme la seconde puissance de a3, ou comme la troisième de a2.

19. Il y a aussi des puissances faites du produit de deux ou plusieurs lettres multipliées l'une par l'autre : ainsi aabb, est la seconde puissance de ab; ou a'b', la troisiême puissance de abb. Il en est ainsi des autres.

DEFINITION.

20. SI deux quantitez differentes, ou égales forment un produit ou une puissance, ces quantitez font nommées côtez ou racines de ce produit ou de cette puissance. Ainsi sont les côtez, ou les racines de ab; a le côté ou la racine de aa, &c.

a & b

FORMATION

Des puissances des quantitez incomplexes.

IL est évident (no. 17) que pour élever une quantité incomplexe à une puissance donnée, il n'y a qu'à multiplier cette quantité par elle-même autant de fois moins une que l'exposant de la puissance donnée contient d'uni tez. Ainsi pour élever ab à la troisiême puissance, il faut multiplier ab deux fois par elle-même, ce qui donnera a'b'. Il en est ainsi des autres.

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