figne+, ou plutôt qui ne font précedées d'aucun figne (car les quantitez incomplexes, & les premiers termes des quantitez complexes qui ne font précedées d'aucun figne font fuppofées être précedées du figne + ) font nommées pofitives, & celles qui font précedées du figne -négatives; d'où il fuit que les quantitez complexes font pofitives, lorsque les termes qui ont le figne+furpassent ceux qui ont le figne; négatives, lorfque les termes précedez du figne-furpaffent ceux qui font précedez du figne+.

8. Les quantitez incomplexes, & les termes des quan. titez complexes qui contiennent les mêmes lettres font nommées femblables. 2abc & abc font des quantitez incomplexes femblables; 3aab-2aab+4abb eft une quantité complexe qui renferme deux termes femblables zaab &—żaab ; le troifiéme terme 4abb, n'a point de semblable.

9. Pour s'appercevoir plus facilement de la fimilitude des quantitez algebriques, il faut toujours écrire les premieres lettres de l'Alphabet les premieres, & les autres dans leur ordre, c'est-à-dire par exemple, qu'au lieu d'écrire bac, ou cab, il faut écrire abc.

10. Les nombres: qui précedent les quantitez algebriques font nommez coefficiens.

Dans cette quantité aa + 3ab + 4bb, 3 & 4 font les coefficiens des termes 3ab, & 4bb. L'on prend l'unité pour coefficient des quantitez qui ne font précedées d'aucun nombre, & quoique l'on n'ait point accoutumé de l'écrire, on la doit neanmoins toujours fuppofer. Ainfi aa doit être regardée comme s'il y avoit Iaa.

REDUCTION

Des quantitez complexes algebriques à leurs plus
fimples expreffions.

11. Il faut ajouter les coefficiens des termes semblables, lorfqu'ils ont le même figne + ou —, & donner à la fomme le même figne : & lorsqu'ils ont differens fignes,

il faut fouftraire les plus petits coefficiens des plus grands, & donner au reste le figne du plus grand. Ainfi 3ab+ 2ab étant réduite, devient 5ab; 4ac + 4ab· 6ab devient 4ac2ab; 3a-5a devient-2a; 3abc-abc, ou 3abc-1abc, devient 2abc. Il en est ainfi des autres.

Dans tous les calculs algebriques, il ne faut jamais laiffer de termes femblables fans être réduits.

ADDITION

Des quantitez algebriques incomplexes & complexes. 12. IL n'y a qu'à les écrire de fuite, ou au-dessous les unes des autres avec leurs fignes, & réduire enfuite les termes femblables, & l'on aura la fomme des quantitez qu'il falloit ajouter ensemble. Ainfi pour ajouter 3ab 46c+5cd avec 2ab3cd, l'on écrira 3ab ·4bc + scd +2ab 3cd, qui fe réduit à 5ab-4bc2cd. Pour ajouter sabc-4bcd avec 5abd-8abc6bcd, l'on écrira 5abc-4bcd+5abd— 8abc + 6bcd, qui se réduit à sabd 3abc+2bcd. Pour ajouter 6a3b avec 2a+3b, l'on 36+2a+36, qui fe réduit à 8a. Il en eft

écrira 6a

ainfi des autres.

SOUSTRACTION

Des quantitez algebriques incomplexes & complexes. 13. IL n'y a qu'à les écrire de fuite, ou au-dessous l'une de l'autre en changeant tous les fignes de celles qui doivent être fouftraites, & l'on aura après la réduction des termes femblables, la difference des quantitez propofées.

Pour fouftraire 3a — 2b+3c de 5a-3b-5c, l'on écrira sa 36-5c—3a+2b —3c, qui fe réduit à 2ab-8c. Pour fouftraire 3ab2bc + 2cd de sab — 46c+ 2cd, l'on écrira sab-4bc2cd — 3ab + 2bc—zcd, qui fe réduit à zab-2bc. Il en eft ainfi des autres.

MULTIPLICATION

Des quantitez algebriques incomplexes, & de leurs

puiffances.

14. ON eft convenu que pour multiplier deux ou plufieurs lettres, il n'y a qu'à les écrire de suite fans aucun figne qui les fépare, & l'on aura le produit cherché. Ainfi pour multiplier a par b, l'on écrira ab. Pour multiplier ab par ac, l'on écrira aabe, Il en est ainfi des autres.

Il y a fouvent des nombres, ou coefficiens qui précedent les quantitez algebriques qu'il s'agit de multiplier; il faut auffi avoir égard à leurs fignes. Voici la regle qu'il faut fuivre.

15. On multipliera les coefficiens, enfuite les lettres, & on donnera au produit le figne + fi les deux quantitez font précedées du même figne + ou -, & on lui donnera le figne, fi l'une des quantitez eft précedée du figne+ & l'autre du figne

=

Pour multiplier 3a par 26, on dira trois fois deux font fix, a par b fait ou donne, ou eft égal à ab; ainfi l'on aura Gab pour le produit de 3a × 2b. De même zab × — 2ab=— 6aabb. 3ab x2cd=+6abcd. 5ab x cd, ou Icd Sabcd. adb x abb = aaabbb, ou a b : car a3b3: lorfque la même lettre fe trouve plus de deux fois dans un produit, on l'écrit feulement une fois, & l'on écrit à fa droite un caractere arithmetique qui exprime combien de fois cette lettre doit être écrite. Ainfi pour aaaa, l'on écrira a; pour aaabbb, l'on a écrit a b'; on peut auffi pour aa écrire a's pour bb, b', &c.

DEFINITION.

16. LE caractere arithmetique qui marque combien de fois une lettre doit être écrite dans un produit, est nommé expofant. Ainfi dans ab*, 3 eft l'expofant de a,&4, celui de b; dans a'b, 3 eft l'expofant de a, & i l'expofant de b: car quand une lettre eft feule, ou qu'elle ne doit être écrite qu'une fois dans un produit, on doit fuppofer

qu'elle a pour expofant l'unité, quoiqu'on ne l'écrive point. Ainfi a exprime la même chofe que a, ou 1ả, ab, la même que a'b', &c.

REMARQUE.

17. DE même que la multiplication de deux lignes droites engendre ou produit un rectangle, ou un quarré, fi elles font égales, la multiplication de trois lignes droites, un parallelépipéde, ou folide; ou un cube, fi elles font égales : par la même raifon les Algebriftes appellent rectangle algebrique, le produit de deux lettres differentes, comme ab; quarré algebrique, le produit d'une lettre par elle-même, comme aa ou a'; folide algebrique, le produit de trois lettres differentes comme abc, ou aab; cube algebrique, le produit d'une lettre multipliée confécutivement deux fois par elle-même, com. me aaa,ou a3, ou b3. Mais ils n'en demeurent pas là,& quoiqu'il n'y ait point dans la nature de folide qui ait plus de trois dimenfions, ils ne laiffent pas que d'en imaginer d'algebriques dont le nombre de dimensions va à l'infini, comme a3, a", a', ao, a3b, aabb, a3bb, a3 b3, &c. Et ces quantitez algebriques font d'autant plus compofées, que le nombre de leurs dimenfions eft grand; de forte qu'un produit algebrique qui a quatre dimenfions, eft plus compofé que celui qui n'en a que trois ; celui qui en a trois, eft plus compofé que celui qui n'en a que deux, &c. Et le nombre des dimenfions d'un produit algebrique eft égal au nombre d'unitez que contient la fomme des expofans des quantitez qui le forment. Par exemple, ab eft un produit de quatre dimenfions, parcequé 3 expofant de a,+1 expofant de b=4. ab eft un produit de fept dimenfions, parceque 3+4=7. Il en est ainsi

des autres.

Ils appellent puiffance, ou degré, le produit d'une quantité algebrique multipliée par elle-même une fois, deux fois, trois fois, & ainfi à l'infini. Ainfi a, ou a' est le premier degré, ou la premiere puiffance de a ; aa ou a',

le fecond degré, ou la feconde puiffance, ou le quarré de as a3, le troifiême degré, ou la troifiême puiffance ou le cube de a; a, le quatrième degré, ou la 4 puiffance, ou le quarré quarré de a; a', le cinquième degré, ou la se puiffance, ou le quarré cube de a; a, le fixiême degré, ou la fixiême puiffance, ou le cube cube de a; a', le feptiême degré, ou la feptiême puiffance de a, & ainfi à l'infini, d'où l'on voit que les puiffances tirent leur nom de leurs expofans.

18. Une puiffance peut auffi être regardée comme le produit de deux puiffances, ou comme la puissance d'une autre puiffance: ainfi a peut être regardée comme le produit de a' x a, ou comme la feconde puiffance de a3, ou comme la troifiême de a'.

19. Il y a auffi des puiffances faites du produit de deux ou plufieurs lettres multipliées l'une par l'autre : ainsi aabb, eft la feconde puiffance de ab; où a'b', la troisiê- ́ me puiffance de abb. Il en eft ainfi des autres.

20.

DEFINITION.

.SI deux quantitez differentes, ou égales forment un produit ou une puiffance, ces quantitez font nommées côtez ou racines de ce produit ou de cette puiffance. Ainfi a & b font les côtez, ou les racines de ab; a le côté ou la racine de aa, &c.

FORMATION

Des puiffances des quantitez incomplexes. IL est évident (no. 17) que pour élever une quantité incomplexe à une puiffance donnée, il n'y a qu'à multiplier cette quantité par elle-même autant de fois moins une que l'expofant de la puiffance donnée contient d'unitez. Ainfi pour élever ab à la troifiême puiffance, il faut multiplier ab deux fois par elle-même, ce qui donnera a'b3. Il en eft ainfi des autres.

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