PROPOSITION XL V. (686.) Trouver la réfiftance qu'éprouvera le même parallelipipede redangle qui fe meut, comme il a été dit dans la Propofition précédente, lorfque fa furface Jupérieure eft hors du Fluide. Dans ce cas, la réfiftance est égale à la force qui agit fur la Turface inférieure, laquelle force=mbe (afin w±÷u fin), a marquant la hauteur verticale, dont le parallelipipede eft enfoncé dans le Fluide. (687.) Si c'est le parallelipipede qui fe meut, & non le Fluide, on aura fin ∞ = 1, & la résistance deviendra =mbe(a2±¦ u fin ◊)2. COROLLAIRE II. (688.) Si, de plus, le mouvement fe fait verticalement, alors fin ◊ = 1,& la résistance devient=mbe(a*±ju)2. (689.) Si, dans le cas préfent, la viteffe u étoit celle que pourroit acquérir le Fiuide en tombant de la hauteur a, alors Vau: donc la résistance sera =mbe (uu)2 =mbeu2 (1±1)2; ou mbe( √ a± √ a)2=mbea (11)2; c'eft-à-dire que lorfque le mouvement fe fait de haut en bas, la réfiftance est= 4mbea; & dans le cas où il fe fait vers le haut, elle eft=o. COROLLAIRE IV. (690.) Si le parallélipipede ne fe meut pas du tout, alors u=0, & la réfiftance devient mbea. COROLLAIRE V. (691.) Si le mouvement eft horisontal, alors fino, & la réfiftance devient pareillement = mbea. COROLLAIRE VI. (692.) Si c'est le Fluide qui fe meut, & non le parallelipipede on aura fin cofw; par conféquent la réfiftance fe réduira à mbe (afin w±iu cofw)2. PLANC. III, FIG. 64. COROLLAIRE VII. (693.) Si, de plus, on avoit fin wo, ou fi le Fluide fe mouvoit verticalement, la réfiftance feroit=mbue; ou= ou=mbea; à caufe que u2== a. De la quantité dont les dénivellations du Fluide, causées par quelques furfaces, alterent la force, & par conséquent les refiftances qu'éprouvent d'autres furfaces. PROPOSITION XLVI. ( 694.) LA dénivellation d'un Fluide qui provient de l'action d'une furface quelconque, s'étend tout autour de cette furface, en formant une parabole égale & femblable. Soit PF la dénivellation qui provient du mouvement d'une furface; CD étant la fuperficie du Fluide, & FD la parabole qui le termine il faut néceffairement qu'il fe forme une parabole CF égale & femblable à la premiere, de l'autre côté de PF. Car c'eft de l'élévation FP, & de la gravité qu'elle commuuique à toutes les particules du Fluide, que fe forme la parabole FD; & les particules en FC devant acquérir une gravité égale, il doit fe former une autre parabole FC égale & femblable à la premiere. On peut faire le même raisonnement pour tout le tour de la dénivellation PF: donc il doit fe former une femblable parabole tout autour de cette dénivellation. (695.) Cette regle eft générale, pour une furface quelconque, choquante ou choquée, verticale, inclinée, ou horisontale. COROLLAIRE II. (696.) Si c'étoit le corps AG qui, par fon mouvement, produisit la dénivellation; & fi ce corps eft tel, que PG foit moindre que PC PD: ce corps n'empêchera point que la dénivellation CGB n'ait lieu, quoique la dénivellation BGPF ne paroiffe pas, le corps en occupant la place. = COROLLAIRE III. COROLLAIRE I I I. (697.) Les dénivellations doivent par conféquent produire des forces pofitives, ou négatives, qui agiffent fur les autres furfaces qu'elles environnent, ou auxquelles elles atteignent, & modifier les forces dont ces furfaces éprouveroient l'action fans cette circonftance. Elles altéreront également la viteffe avec laquelle le le Fluide jailliroit par un orifice ouvert dans les mêmes surfaces. COROLLAIRE I V. (698.) Si la surface eft plane, 'on aura PCPDu fin↑ (597), O défignant l'angle que forme la furface avec la direction du mouvement. PROPOSITION X L VII. (699.) Trouver la viteffe avec laquelle le Fluide jaillira par un orifice ouvert dans une furface, en ayant égard à l'effet que produit für elle la dénivellation produite par une autre furface. Ө La vîteffe que prend un Fluide qui fort par un orifice quelconque, a un certain rapport avec la hauteur de la dénivellation, dans la verticale du même orifice. Oru fin 02 étant la hauteur de la dénivellation, toutes les particules du Fluide, placées dans la même verticale, prennent la viteffe u fin donc, en général, si l'on connoît la hauteur de la dénivellation au-deffus d'un orifice, en la multipliant par 64, & extrayant la racine quarrée du produit, on aura, la viteffe que prendront les particules du Fluide, en vertu de la dénivellation (52 & 564.). Cette vîteffe étant ajoutée, ou souftraite de celle qui doit réfulter de la hauteur de la fuperficie du Fluide au-deffus de l'orifice, on aura la vîteffe réelle avec laquelle le Fluide jaillira par cet orifice. 1 PROPOSITION XLVIII. (700.). Trouver la force horisontale qui agit fur une furface plane choquante, qui eft entiérement fubmergée dans le Fluide en ayant égard à la dénivellation que produit une autre furface également cho quante. PLANO, III, Soit CL la furface choquante qui éprouve l'action de la force qu'on cherche; CN celle qui caufe la dénivellation; OQ la fuper- FIG. 65. ficie du Fluide; OANQ la dénivellation qui réfulte du mouvement de la furface NC; & OFED celle qui réfulte du mouvement de LC; TOME I Nn x cofn cette derniere dénivellation étant fuppofée moindre que la premiere, à caufe que l'angle formé par CN avec la direction du mouvement, eft plus grand que celui formé par LC, avec la même direction. Soit, de plus, dans la verticale BCT, BC=D, CG=x, l'horifontale GH fera , la verticale HK =D+x, & Kl, la dénivellation correfpondante au point H, =÷OK2 =÷(BO—BK) — — (u fin ☺ — 2 cof*)*; C exprimant l'angle que forme la direction du finn mouvement avec CN: enforte que la viteffe avec laquelle le Fluide jaillira par l'orifice fait en H, fera · 8 (D+x)2+u fin☺- x cof La force horisontale qui agit fur une différencio-différencielle en Hfera donc=m.dc.dx((D+x)+(u fin® —"))*: ou la quantité c étant cofn finn jin conftante, la force qui agit fur une différencielle fera mc.dx ((D+x)i+¡( u fin—c)); quantité dont l'intégrale eft eft = mc (Dx+÷x2+¿u((D+x)3 —D3)sin©)+. m ux2 fin .cof 64 finn x3 cos2 3.64 fin finn )*. Cette intégrale exprimera la force ho rifontale qui agit fur la furface HC, en fuppofant que la droite où * Il est très-aifé de trouver cette intégrale; pour cela il ne faut que développer la quantité différencielle, en effectuant les opérations indiquées, & l'on aura. mc ufin .cof xdr+ 32 finn сон 64 fin 2 r): quantité qui s'integre comme une fuite de monomes, excepté le quatrieme terme qui échappe à la regle fondamentale. L'intégrale eft donc mc( Dx + ÷ x2+ ¿ u( D+r)2 fin) 3.64 fin) Ainfi, la difficulté, s'il y en avoit, ne pourroit tomber que fur l'expreffionda (D+1). Pour avoir cette intégrale, je fais Dry, & j'en tire xy-D. Confidérant que xdx vient, à un multiplicateur conftant près, de la différenciation de 12, je quarre cette équation, & j'ai a2=v2—2Dy+D2, d'où je tire, en différenciant, &, divifant par 2, xdxydr- Ddy. Subftituant cette quantité pa a fi fix dx (D+x) = f (++)2++ D (D+x), (Voyez la qua fin les deux furfaces se rencontrent, c'est-à-dire, leur intersection C, soit horisontale. Si l'on fait maintenant x=CT u fin cofn RT finn cofn EF finn ( fin ☺ — fin ◊ ),† ;. 0 exprimant l'angle que fait la direction du mouvement avec la ligne CL, EF étant l'efpace dont une dénivellation s'étend fur l'autre, on aura la force horifontale qui agit fur Du fian (fin → → fin 8) u2 finn2 (fin→ → fin 6)2. cofn la furface CR me( u cofn mic cof 10 fin mc cof D+ 15 fin meu3 (fin3 — finė3) fin 3.64.cof + cofal 2 caj n2 u fin n 6 finn COROLLA IR EI. (701.) La force horisontale qui agira fur la furface CR, & qui résulte de la dénivellation produite par cette furface, eft (611.): mc(Dx+÷x2+¿u((D+x)2 —D2) sin÷÷÷zu2x fin b2 ) "" fin find), en mettant pour x fa valeur (700;"& la Note.). Donc, en fouftrayant cette valeur de la force trouvée ci-deffus, il reftera l'excès de force! horifontale que lui communique la dénivellation de l'autre furface; & cet excès eft =¿mcu( sinė — fine)((D)+","fin — fine)) = _—_ D2 ) —— u trieme partie du Cours de Mathématiques de M. Bezout, Art. 91.). Subftituant maintenant cette quantité dans l'intégrale précédente, on aura l'intégrale complette= 2 — (( ¦ 。 (D+x) = — ¿D (D+a) = ) ( ) ( ). ) + H; ; en défignant par H la quantité conftante qui com 64 fin plette l'intégrale. Pour trouver la valeur de cette conftante, je confidere que l'intégrale repréfentant la réfiftance qu'éprouve la furface NCL, elle doit s'évanouir au point C; c'est-à-› dire, lorsque x =0; on aura donc mc(¿uD3)+mc (¿D(D3) —— D3) cos " qui donne, en tranfpofant & réduifant, H=mc(- u D3)+me ( — ; ; Dž) donc cette valeur de H dans l'intégrale, on a l'expreffion même de l'Auteur. Subftituant BM=EF= # (fin - fint).") cufn |