PLANC. IV. Nous ne la confidérerons même que fur deux axes, l'un vertical & l'autre horisontal, attendu que tout ce qu'on dira de la rotation fur ce dernier, s'appliquera également à la rotation sur l'autre axe horisontal. PROPOSITION LXXXII. (926.) Trouver les moments qui agiffent fur un cylindre qui flotte horifontalement fur un Fluide, & qui tourne fur un axe horisontal paTallele à fes côtés, & paffant par le centre de gravité. Soit ABFD le cylindre, C fon centre de volume, & CGE une FIG. 77% verticale dans laquelle fe trouve le centre de gravité G. Soit tiré l'horisontale BF, ainsi que les droites CB, GB, & foit fait CG ―k, CB=R, CE=x, & BE= y. Le moment provenant des forces qui agiffent fur une différencielle horisontale en B, & fur sa mb Vk2 R2 di correspondante en F, est (919.) = ¦ mbr2 Vx idx fin x. fin 6 ; b expri dt fin mant la longueur du cylindre; r = GB ; x = Ө l'angle GBC; ce qui donne rfin. Ces valeurs étant fubftituées dans l'exprefsion des moments, elle deviendra brid—mbVk2x2 dxV R2—x2. Rdt 2 Rdt La fomme des moments qui agiffent fur tout le cylindre depuis l'horisontale BF jufqu'au diametre auffi horisontal AD, fera donc χ * dx.√ R2—x2; ou, en réduisant ✔ K-x2 en férie, & in mb Vk2 2 Rd tégrant,= dt 7.2R2 11.8R 15.16R6 19.128R8 23.256R1o Faifant maintenant x= R, les moments qui agiffent fur tout le demi-cylindre ABHFD feront R-12-11.815.16 à très-peu près. COROLLAIRE I. (927.) Les moments de la dénivellation font négligeables, par ce qu'on a dit dans la Propofition précédente. COROLLAIRE II. (928.) Tous les moments s'évanouiffent lorfqu'on a ko; c'eftà-dire, lorfque le centre de gravité coincide avec l'axe du cylindre. CHAPITRE XIII. De la Viteffe angulaire avec laquelle les corps flottants tournent fur un axé quelconque. PROPOSITION L XXXI I I. (929) TROUT ROUVER la viteffe angulaire avec laquelle un corps flottant tourne fur un axe quelconque, étant animé par une, ou par plufieurs puiffances. = La vîtesse angulaire eft (179.) V difpd; pr exprimant la fomme des moments des puiffances qui agiffent; t le temps de leur action; & S la fomme des moments d'inertie. Subftituant donc en place de pr les moments qui agiffent fur le corps, & qui proviennent des réfiftances & de l'action des puiffances. On aura une équation, de laquelle on tirera la valeur de la vîteffe angulaire V dans quelque inftant de l'action que ce foit. (930.) Plus les moments d'inertie feront grands, plus il faudra de temps au corps pour acquérir une viteffe angulaire donnée. SCOLI E. (931.) Les moments p, ou leur fomme, peuvent provenir de différentes puiffances, & ces puiffances peuvent être conftantes; c'est-à-dire, indépendantes de la vîteffe angulaire V, ou elles peuvent dépendre abfolument de cette vîteffe; comme en effet, elles en dépendent lorfqu'elles proviennent de la résistance du Fluide, ainsi que nous l'avons vu dans le Chapitre précédent. M. Bouguer (Traité du Navire, liv. II, fedion III, Chap. I, §3.), & Léonard Euler, ont fait abstraction de cette derniere efpece de puiffance, & même M. Bouguer ajoute qu'il néglige ces réfiftances à caufe que le corps divife très-peu de Fluide; & qu'il en eft de la réfiftance qu'il éprouve, comme de celle que l'air oppofe au mouvement des pendules; réfiftance qui eft prefque infenfible, à caufe que la viteffe angulaire V eft très-petite. Mais le cas dont il s'agit ici eft très-différent; car les pendules ofcilleroient encore avec plus de régularité sans la résistance, au lieu que fans la réfif tance, les corps ne pourroient pas fe foutenir, dans leur rotation fur les Fluides. Le feul cas où ceci ait quelque fondement, eft celui où le corps est formé par la révolution d'un plan quelconque, autour d'un axe qui paffe par le centre de gravité. Dans ce cas, en fuppofant que la rotation, ou ofcillation, fe faffe fur un axe horisontal, fi l'on incline un peu le corps, le moment qui l'obligera à tourner, lorsqu'on l'aura abandonné à lui-même, fera (838.), celui qui résulte de l'action du Fluide verticalement, lequel eft= KP fin A, expreffion qui devient zero lorfque K=0; mais cette condition de Ko eft nécessaire pour que les moments résistants s'évanouiffent: donc ces moments ne s'évanouiffent, même dans ce cas, que lorfque le corps n'eft animé par aucune action qui le faffe tourner; c'est-à-dire, lorfqu'il perd entiérement la ftabilité, & qu'il eft impoffible, dans la pratique, qu'il fe foutienne. La réfiftance des Fluides eft donc, par conféquent, néceffaire dans la rotation des corps. On fera voir dans la fuite que, dans quelques cas, cette réfistance n'est pas auffi peu confidérable que l'a cru M. Bouguer. COROLLAIRE II. GV (932.) Si l'on avoit pr=32KP fin ▲ · * K, P & G., def (32 KP de fin ▲ — GV) étant conftants, on auroit V= S - : ou parce *Voici le fondement de cette égalité. Lorfqu'on incline le corps d'une quantité infiniment petite, ou même d'une quantité finie, & qu'on l'abandonne enfuite à lui-même, le moment p qui l'oblige à tourner, eft celui qui réfulte de l'action verticale du Fluide, en faisant abftraction de la réfiftance que le Fluide oppofe à ce mouvement. Or, dans cette expreffion, repréfente la puiffance, ou la réfultante des puiffances qui animent le corps, ainfi elle eft = 32 P,(52.); P exprimant le poids du corps: & la quantité p, eft la diftance horisontale de la direction de la puiffance au plan vertical qui paffe par l'axe de rotation, c'est-à-dire, au plan directeur (167 & 168.), laquelle diftance eft = K fin ▲ ( 838 & 839.). Donc le moment pr=32 KP fin ▲, abstraction faite du moment des réfiftances qui proviennent de la rotation. V Mais lorsque le corps eft abandonné à lui-même, & qu'il tend à fe rétablir dans fa premiere fituation, il éprouve, de la part du Fluide, une réfiftance qui s'oppose à fon mouvement, avec une énergie d'autant plus grande, qu'il fe meut,ou tend à fe mouvoir, avec une plus grande vîtesse anV gulaire. Or (920.) le moment de cette résistance est proportionnel à, ou est égal à multiplié dt par une quantité conftante; ainfi en appellant G cette conftante, le moment de la réfistance sera = GV dt Cela pofé, il eft évident que le moment total pa qui agit fur le corps, tant en vertu de l'action des puiffances que de celle des résistances fera 32 KP fin a - GV (933.) Si l'on fuppofe Go, ou, ce qui eft la même chofe, fi l'on fait abstraction des résistances, comme l'ont fait les Auteurs cités de f32 KP de fin ▲ ci-deffus, il viendra V S PROPOSITION 32 dt KP Sdt fin s. LX XXI V. A. (934.) Trouver la longueur d'un pendule fimple ifochrone avec le corps flottant qui ofcille fur un axe horisontal. Soit L la longueur du pendule fimple, on aura (184.) V= Edt fdi fin A w dt en fuppofant que a repréfente la vîteffe du corps L I Ꮮ dans le pendule: donc fdt fin A; mais comme on suppose que les corps décrivent des arcs femblables en temps égaux, on a, w: u :: L: K, & w ; par conféquent on a auffi fdt fin A Lu K Lu Lu Cette valeur étant fubftituée dans l'équation Su 32K 32 K2 P fdt fin A-Gfudt, il en résulte Su=KPLu-G fu dt. Suppofant maintenant que les ofcillations foient très-courtes, ou infiniment petites, on pourra fuppofer l'arc que décrivent les corps K fin A, égal à son sinus, lequel, dans le corps flottant, eft par conféquent on aura udt― Kd fin ▲, & fudt = K fin A qui donnera Su= KPLu-GK fin A; mais la viteffe a au milieu A2 = de l'ofcillation, eft (359) · 8 (L+ fin A2 ) + = 8 fin A V÷L= donc u= 8 KS fins V2L 8 K fin A = 2 L & се Lu Cette valeur de u étant fubftituée, donne 8 K2P fin AVL GK fin A; ou GV 2 L—KPL-S; & en quarrant L= G& 64 K' S2 K2 P2 d'où l'on tirera SCOLIE I. (935.) L'analogie w: u :: L: K, n'est pas rigoureusement exacte; mais à caufe de la petiteffe des arcs décrits, on peut la prendre pour telle. COROLLAIRE I. (936.) Si l'on fuppofe G=o, ou fi l'on fait abftraction des réfiftances, on aura L S KP : expreffion qui ne differe pas de celle que nous avons trouvée (189.) pour la longueur du pendule fimple ifochrone à un pendule compofé. Donc le corps flottant ofcile comme un pendule. COROLLAIRE II. (937) Si nous nommons la longueur du pendule simple qui bat les fecondes de temps moyen, & t le temps, en fecondes, de la durée d'une ofcillation du corps flottant, ou du pendule L: puifque les quarrés des temps de la durée des ofcillations, sont comme les longueurs des pendules (372.), on aura 1: L::1:2, & L=lt. Subftituant cette valeur de L dans l'équation L= on en déduira t= G2 S + KP G2 S KP 64 K P2 S G2 2 KP 64 K Fr KP COROLLAIRE III. (938.) Si l'on fuppofe G=0, suppose G=o, il en résulte t=√(~7.). SCOLIE II. (939.) Maintenant, pour fatisfaire à l'engagement que nous avons pris dans l'Art. 931, nous pouvons comparer les moments des réfiftances 6 mb V k2 R3, (926.) qui agiffent fur un cylindre pen 25 de 3 dant fa rotation, avec les moments k Pfin A, qui conftituent fa prime la viteffe avec laquelle fe meut l'axe du cylindre, & kla distance 1 |