fera 2 A du. On prouvera de même qu'une puiffance 3 a produira dans le mouvement la différencielle 3A du; & ainfi de fuite. Pareillement les puiffancesa, a, &c. produiront, dans le mouvement du corps, les différencielles A du, A du, &c. Dong les variations, ou différencielles, du mouvement font toujours proportionnelles à la puiffance qui les produit. D'un autre côté, puifque la différencielle du de la vîteffe eft plus ou moins grande, felon que le temps dt, pendant lequel la puiffance ágit, eft plus ou moins grand, il en fera de même de la différencielle Adu du mouvement. Donc cette variation, ou différencielle, fera en raison compofée de la puiffance a, & du temps dt, ou comme le produit a dt. Quant à la direction de cette différencielle du mouvement, il est évident, par le premier Axiome, qu'elle eft la même que celle de la puiffance. COROLLAIRE. (19.) Puifque Ad u eft proportionnelle à ad t,il s'enfuit qu'on aura Adua dt. SCOLI E I. (20.) Quoique jufqu'ici nous n'ayons encore établi que la proportionnalité entre A du & ad t, on peut cependant former une égalité parfaite entre ces deux quantités; car, quoique la puiffance puiffe être plus ou moins grande, on peut diminuer ou augmenter proportionnellement la différencielle d't; de maniere qu'elle foit en raifon inverfe de la puiffance a. On trouve enfuite, par l'expérience, la vraie relation entre ces quantités. SCOLI E I I. (21.) Il y a des Auteurs qui mettent en doute la proportionnalité entre la force, ou la puiflance, agiffante & la différencielle de la vîtesse. Il paroît cependant que, pour fe convaincre de l'évidence de ce principe, il fuffit de confidérer, comme nous l'avons dit, que, par puiffance double on n'entend autre chofe qu'une puiffance qui agit précisément comme le feroient deux puiffances fimples, la feconde égale à la premiere. Le fondement du doute de, ces Auteurs eft que nous ignorons la nature de la caufe, & la maniere dont elle agit. Nous nous difpenferons d'entrer dans l'examen de cette difcuffion, qui nous paroît d'autant moins nécessaire, que ces mêmes Auteurs arrivent, quoique par une voie différente, aux équations mêmes que nous avons données, qui font la base de toute la Méchanique. Ils prétendent que la connoiffance de la puissance doit résulter de fes effets; mais que les effets ne peuvent fe conclure par la puiffance impulfive déterminée. Ce raifonnement n'eft que fpécieux, nous en ferons voir les défauts.* AXIOME III. (22.) L'action est égale à la réaction, ou les actions mutuelles de deux corps l'un fur l'autre font égales, & dans des directions oppofées. Un corps ne peut pouffer ou choquer un autre corps, fans être, en même temps, choqué ou pouffé par celui-ci, avec la même force dans le fens oppofé. Si un agent quelconque pouffe un obstacle avec une certaine force, celui-ci repouffe l'agent en fens contraire avec la même action. La même chofe arrive si l'agent attire un obftacle, il en eft également attiré avec une force égale dans une direction contraire. La vérité de cet Axiome eft confirmée journellement par l'expérience. PROPOSITION I. (23.) Si un corps fe meut uniformément, ou avec une vitesse uniforme, les efpaces parcourus font entre eux comme les temps employés à les parcourir La viteffe du corps n'augmentant ni ne diminuant, il parcourra toujours le même efpace dans le même temps; il parcourra donc un efpace double dans un temps double, un espace triple dans un temps. triple, & ainfi de fuite. Donc les efpaces parcourus font toujours dans la raifon des temps employés à les parcourir. PROPOSITION II. (24.) Si un corps fe meut uniformément, avec des vîtesses différentes, les efpaces qu'il parcourt en temps égaux, font entre eux comme les viteffes. Puifque la plus grande vîteffe confifte dans le plus grand espace parcouru dans le même temps, il s'enfuit que fi un corps parcourt un certain efpace avec une certaine vîteffe, il parcourra un espace double avec une viteffe double, un efpace triple avec une viteffe triple, & ainfi de fuite. Donc les efpaces parcourus font entre eux comme les vitesses. * Voyez l'Encyclopédie, Articles Accélération, Cause, & Force; & le Traité de Dy Bamique de M. d'Alembert, Art. 22 & 158, PROPOSITION II I. (25.) Les efpaces parcourus par des corps qui fe meuvent uniformément, font en raifon compofée des viteffes avec lesquelles ils font parcourus, & des temps employés à les parcourir. Soient deux corps A & B, qui fe meuvent uniformément, le premier, avec la vîteffe u, parcourant l'espace a pendant le temps t; & le fecond, avec la vîteffe v, parcourant l'efpace b pendant le temps T. Puifque les efpaces parcourus, en temps égaux, font entre eux comme les vîteffes, nous aurons l'efpace parcouru par le corps B dans le temps t de la marche du corps A par cette proportion, u: v :: a. Mais nous venons de voir auffi que les efpaces parcourus avec des vîtesses égales, font en raison des temps, on aura donc t: T :::b, d'où l'on tire a Ty=btu, & par conféquent a : b :: tu: Tv: c'est-à-dire que les espaces parcourus font en raison compofée des temps & des viteffes. tu COROLLAIRE I. (26.) Si l'on divife l'équation a Tv=btu par le produit Tv.tu, on aura ——=—,, dans laquelle fi nous faisons = → I, en fuppofant que les quantités ¿, T, v foient conftantes, nous aurons l'équation 1=-, qui donne u=÷. Donc la vîtesse d'un corps eft en raison directe de l'efpace parcouru, & en raison inverse du temps employé. à le parcourir. que COROLLAIRE I L ( 27.) De la même équation on tire pareillement t=—; c'est-à-dire, le temps dans lequel un corps parcourt l'efpace a, eft en raifon directe de cet efpace, & en raifon inverfe de la vîteffe avec laquelle il le parcourt. COROLLAIRE III, (28.) Si l'on exprime le temps t en fecondes, & fi l'on en prend une pour l'unité de temps, dans le cas où t = 1, on aura u=a; c'està-dire que la viteffe eft égale à l'efpace parcouru pendant une feconde de temps. Il fuit de là que fi l'on exprime le temps en fecondes, l'efpace parcouru pendant une feconde de temps fera la mesure de la viteffe. COROLLAIRE I V. (29.) Le mouvement accéléré, ou retardé, peut être regardé comme uniforme pendant un inftant, ou pendant une différencielle de temps d t; car, pendant cet inftant, la variation de la viteffe, étant une quantité différencielle, peut être regardée comme nulle, ou égale à zéro par rapport à la viteffe acquife & finie u. Si donc da représente la différencielle de l'efpace parcouru pendant cet inftant.dt, nous aurons (26.) u=, & par conféquent da=ud t PROPOSITION IV. (30.) Lorfqu'un corps fe meut d'un mouvement accéléré, ou retardé, la quantité dont fa viteffe à chaque inftant de fa courfe, furpaffe fa víteffe initiale, ou en eft furpaffée, est toujours fa dt. = Soit la viteffe initiale du corps, c'est-à-dire, celle avec laquelle il se meut au premier inftant de l'action, ou du temps t; en intégrant l'équation d =du (18.) nous aurons ad t * adt <= 1 น V, c'est-à-dire que la quantité dont la viteffe actuelle du corps furpaffe fa vitcffe initiale, ou en eft furpaffée, cft toujours Sadt. COROLLAIRE I. A (31.) Si la puiffance a étoit confiante, on auroit = — u — V; c'est-à-dire, que la quantité dont la viteffe actuelle du corps furpaffe fa vîtesse initiale, où en cft furpaffée, cft en raifon compofée des raifons directes de la puiffance & du temps, & de la raifon inverfe de la maffe. (32.) Si V COROLLAIRE II. o, c'eft-à-dire, fi le corps étoit en repos lorfque u repréfente la viteffe que prend le corps en vertu de la puiffance a qui eft accélératrice o retardatrice; du en eft la différencielle done fd uut C, C marquant une conftante qui complette l'intégrale; par conféquent, adiu + C. Mais lorsque la puiffance a. n'agit point, c'est-à-dire lorsqu'elle est égale à zéro, ona u — V, & l'intégrale // = dt=0: donc on a dans ce cas, u C, ou V + C = 0, ce qui donne C adu† C, on a fadi= Subftituant cette valeur de C dans l'équation - ៨ V, comme l'Auteur l'a trouvé, la puiffance a a commencé fon action, ou s'il commençoit fa course du repos, on auroit fadt=u: & fi a étoit conftante, on auroit //= COROLLAIRE III. (33.) Si, au contraire, le corps, après avoir été mis en mouvement, parvient à l'état de repos, comme il peut arriver dans le mouvement retardé, on aura u=0: =0: donc donc = -V:ou, dans ce a t -A cas, en changeant le figne de la puiffance, à caufe que le mouvement eft retardé, += V. COROLLAIRE IV. (34.) La vîteffe acquife dans le mouvement accéléré qui commence du repos eft u = & la vîteffe entiérement perdue dans a t A t le mouvement retardé eft V: donc ces vîteffes feront égales, fi des puiffances égales a agiffent pendant le même temps t fur des maffes égales A. PROPOSITION V. ( 35. ) L'espace parcouru par un corps, à compter du premier inftant de fon mouvement, eft=Vt+ •Af(disadt.) Puifque u= d(29.) on aura donc ( 30.) da А V; d'où l'on tired=V+ fadt, ou da = A fadte que l'efpace & en`intégrant,a=Vc+ }f(di fa d t ); c'est-à-dire COROLLAIRE I. (36.) Si la puiffance a eft conftante, on aura a=Vi+ COROLLAIRE II. 2 A (37.) Si le corps commençoit fa courfe du repos, alors on auroit V=0,& par conféquent a = f(dt født); ou, fi la force, ou |