58779. fil'on ôte son quarré qui est 3454970841. du quarré du rayon qui est 100০০০০০০০০, il restera 6545029159. pour le quarré du Sinus de 54. deg. dont la racine quarrée est 80901; quand ce qui reste excede 50000. on ajoûte une unité dans les Tables; c'est pourquoi l'on y trouve 80901, pour le Sinus de 54. deg. PROPOSITION III. THEOREME. La difference des Sinus des deux arcs également éloignez de 60. degrez, est égale au Sinus de la moitié de la difference de ces deux arcs. J E dis que si l'arc BD est de 60. degrez, & que Fig. 4 les deux deux arcs BC, BE en soient également éloignez, en forte que l'arc ED, ou CD soit égal, soitla moitié de leur difference CE;la difference des Sinus EG, CI, des deux arcs BC, BE, est égale au Sinus EO, ou CO, de la moitié CD, ou DE de leur difference CE. Si l'on tire du point C la ligne CH parallele au rayon AB, & au point F, où le rayon AD se trouve coupé par le Sinus EG, la droite CF, on connoîtra aisément que le triangle ECF est équilateral, & quela ligne EH, ou le Sinus EO, ou CO, est la difference des Sinus EG, CI. C. Q. F. D. COROLLAIRE. I. Il s'enfuit de là, premierement que si les Sinus de deux arcs également distans de la fixiéme partie du Cercle, sont donnez, l'on trouvera le Sinus. de la difference de l'un de ces arcs à la fixiéme 1 Par exemple, soit donné le Sinus de 40. deg. a sçavoir 64278. & celui de 80. degrez, à sçavoir 98480. qui sont également distans de 60. deg. qui est la fixiéme partie du Cercle, l'on trouvera le Sinus de 20. deg. à sçavoir 34202. parce que la difference du Sinus de 40.deg. à celui de 80. étant égale au Sinus de 20. deg. il est évident que si l'on fouftrait le plus petit du plus grand, ce qui restera fera le Sinus cherché. COROLLAIRE II. Il s'enfuit encore que si le Sinus d'un arc moindre que la sixiéme partie du Cercle est donnée avec le Sinus de la difference de cet arc à la fixiéme partie du Cercle, on trouvera le Sinus d'un arc qui furpassera autant la sixiéme partie du Cercle, que l'autre en étoit surpaffé. Ainsi le Sinus de so. deg. à sçavoir 76604. étant donné avec le Sinus de 10. deg. à sçavoir 17364. difference de so. deg. à la fixiéme partie du Cercle, on trouvera le Sinus de 70. d. Car dautant que la difference du Sinus de so deg. à celui de 70. est égale au Sinus dero. deg. qui est le défaut de so.d. à la fixiéme partie du Cercle, il est évident que si au Sinus'de 50. deg. 76604. on ajoûte le Sinus de 10.deg. 17365. ce qui viendra, à sçavoir 93969, fera le Sinus de 70. deg. que l'on demande COROLLAIRE III. De même étant donné le Sinus de 70. deg. avec celui de 10. il est évident qu'en ôtant celui-ci de PROPOSITION IV. THEOREME. Le Sinus verse d'un arc, & le Sinus droit de son com plement, sont égaux au rayon du Cercle. S Oit FG le Sinus verse de l'arc GE, & ED, le Fig. Sinus droit de son complement EC ; je dis que FG, ou ED, sont égaux au rayon AG. Car puisque DE est un parallelograme ED est égale à AF, à quoi ajoûtant FG vient le rayon AG. COROLLAIRE. Il s'enfuit de là que le rayon étant donné, & le Sinus droit du complement de quelque arc, le Sinus verse de cet arc sera connu; car en ôtant du rayon le Sinus droit donné, restera le Sinus verse cherché Ou bien le Sinus verse d'un arc étant donné avec le rayon, le Sinus droit de son complement fera connu; car en ôtant du rayon le Sinus verse donné, restera le Sinus droit cherché. Les Quarrez des Sinus droit & verse d'un arc font égaux au quarré de la foutendante du même arc. D E l'arc CE le Sinus droit soit CF, & FE le Fig. 6, Fig. 6. Fig. 7: Pour le prouver. Le triangle CFE étant rectangle; il est évident que les quarrez de CF & de FE, sontégaux au quarré de CE. COROLLAIRE. Les Sinus droit & verse d'un arc étant donc donnez, on connoîtra la soutendante de cet arc, & le Sinus droit de sa moitié. Soit par exemple, EF. 6. & CF. 8. leurs quarrez 36. & 64. étant ajoûtez font 100. pour le quarré de CE, dont la racine quarrée est 10. qui est ce que vaut la foutendante cherchée; & 5. est la valeur du Sinus droit du demi arc. PROPOSITION VI. THEOREME. Au quart de Cercle, le Sinus droit d'un arc est moyen S Oit par exemple EC, double de l'arc ED; je dis que EH Sinus droit de ED, est moyen proportionnel entre la moitié du rayon AG & EF Sinus verse de l'arc double EC; c'est-à-dire que comme la moitié du rayon AG est à EH, ainsi EH est à EF. Pour le prouver. Aux deux triangles AHE, CFE, l'angle AHE étant droit, & partant égal à CFE, & l'angle au point E étant commun; il s'enfuit que ces deux triangles sont équiangles, & qu'ils ont les côtez au tour de l'angle commun E proportionnaux (par la 4. du 6.) c'est-à-dire que 4 : comme la moitié de AE, sçavoir AG, est à EH, ainsi la moitié de CE, à sçavoir EH eft à EF. C. Q. F. D. il en est de même au demi Cercle. COROLLAIRE. Il s'enfuit de la que si le rayon est donné, avec le Sinus droit de quelque arc, on trouvera le Sinus verse d'un arc double; & ensuite l'on trouvera auffi le Sinus verse de cet arc double. Soit, par exemple, le demi rayon AG 9. & EH PlanSinus droit de l'arc ED 6. on trouvera le Sinus che 2. verse EF 4. Car puisqu'il y a même raison Figs. de AG à EH, que de EH à EF, il est évident, suivant les regles des proportions, que le quarré de EH eft égal au produit de AG, EF. Si donc on divise le quarré de EH qui est 36. par la valeur du demi rayon 9. il viendra le Sinus verse cherché, à sçavoir 4. Et pour trouver la valeur de CF Sinus droit de CE, double de ED, aprés avoir trouvé le Sinus verse, il faut trouver (par la Proposition 4.) le Sinus droit du complement de cet arc double, & par le moyen de ce Sinus droit, trouver (par la 2. Propofition) les Sinus droit cherché. Ou bien il s'enfuit qu'étant donné le Sinus verse d'unarc avec le demi rayon, on trouvera le Sinus droit d'un arc, qui sera la moitié de l'arc proposé: Car puisqu'il y a même raison du demi rayon au Sinus cherché, qu'il y a de ce même Sinus, au Sinus verse de l'arc double proposé, il est évident par les regles des proportions, que si l'on multiplie les deux extrémes donnez, l'un par l'autre, le produit sera le quarré du Sinus cherché. Soit, par exemple AG 9. & EF 4. fi vous les mul 1 : |