Imágenes de páginas
PDF
EPUB

Fig. 8.

cine quarrée 6. fera la valeur du Sinus droit cher ché EH.

PROPOSITION VII.

THEOREME.

La tangente d'un arc eft au rayon, comme le Sinus
droit de cet arc, eft au Sinus droit
de fon complement.

A

U quart de Cercle ADC, foit DE tangen

te de l'arc DF, dont FG eft le Sinus droit, & foit FB Sinus droit de fon complement FC; je dis qu'il y a même raifon de la tangente DE au rayon DA, que de FG à FB, ou à GA fon égale.

Pour le prouver. Aux deux triangles EDA, FGA, les deux angles G, & D font droits & égaux, & l'angle A commun; partant ces deux triangles font équiangles,, & ont les côtez au tour des angles égaux G, & D, proportionnaux ; c'est-à-dire que comme ED est à DA, ainfi FG eft à GA, ou a FB fon égale.

On peut convertir ainfi cette propofition, en difant qu'il y a même raison de FB, Sinus d'un arc donné à FG Sinus de fon complement, qu'il y a du rayon AD, à la tangente de ce même comple

ment DE.

COROLLA I'R E.

Etant donc donné le Sinus droit d'un arc, & celui de fon complement, avec le rayon, on trouvera la tangente de ce même complement; car puifque ces quatre chofes font proportionnelles, il

tipliez l'un par l'autre, & le produit divifé par Fig. l'extrême connu, il viendra l'autre extrême cher

ché.

Soit, par exemple AG, ou fon égal FB 6. FG 8. AD 10. DE fera 13. &, ou 3. Car 8. multiplié par 10. font 80. lefquels divifez par 6. vient 13. ou la tangente cherchée.

pour

PROPOSITION VIII.

THEOREME.

Le rayon eft moyen proportionnel entre la tangente d'un arc,& la tangente de fon complement.

S

Oit ici la ligne DF tangente de l'arc DC, & Fig. 9. BE tangente de fon complement CB; je dis que comme DF eft au rayon AD; ainfi le rayon ÂD, ou AB eft à la tangente BE.

Pour le prouver. Du point F, foit menée FG, parallelle à AD qui lui fera égale, puisque ce font les côtez oppofez du parallelogramme GD.

Maintenant aux deux triangles ABE, AGF les deux angles G & B font droits & égaux, & l'angle A commun, partant ces deux triangles font équiangles, & ont les côtez au tour des angles égaux GB, proportionnaux; c'eft-à-dire, que comme AG, ou DF fon égale, eft à GE, ou à son égale AD; ainfi AB ou fon égale AD, eft à BE, C. Q. F. D.

COROLLAIRE.

Etant donc donnée la tangente d'un arc, avec fon rayon, on trouvera la tangente de fon complemet, par exemple.

[ocr errors][merged small][merged small]

puifque DF eft à AD, comme AD eft à BE; fi on multiplie AD 10. quarrément, & que l'on divife le produit 100. par DF 8. le Quotient sera 12 ¿ qui fera la tangente cherchée.

PROPOSITION IX.

THEOREM E

Le rayon eft moyen proportionnel entre le Sinus droit d'un arc, & la fecante de fon complément.

Oit CB Sinus droit de l'arc GC, & AE fecanque le rayon AC, ou AD eft moyen proportionnel entre BC & AE; c'eft-à-dire que comme BC eft à AC, ainf AC eft à AE.

Ste de fon complément CD; je dis

Pour le prouver. Aux deux triangles EAD, CAF, les deux angles F & D font droits & égaux, & l'angle A commun, & partant ces deux triangles font équiangles, & ont les côtez au tour de l'angle commun A, proportionnaux. C'est-à-dire que comme AF, ou BC fon égale, est à AC, ainsi AC, ou AD fon égale est à AE. C. Q. F. D.

COROLLAIRE I.

Le Sinus droit d'un arc étant donné, avec le rayon, on trouvera la fecante de fon complement; car puisqu'il y a même raison du Sinus droit de cet arc, au rayon, que du rayon, à la fecante de fon complément; le quarré du rayon étant divifé par le Sinus droit connu, il viendra la fecante que l'on cherche; ainfi fi AF, ou BC fon égale, eft 6. & le rayon AC 10. la fecante AE fera 16.3.

COROLLAIRE II

Etant donné le Sinus droit d'un arc, avec le rayon, on trouvera la fecante de cet arc; car le Sinus droit d'un dré étant donné, on trouve le Sinus droit de fon complément (par le Coroll. de la 2.) enfuite dequoi il ne faut que fe fervir du rai fonnement précedent,& l'appliquer à ce Sinus ; car il y a même raison du Sinus droit du complément au rayon, que du rayon à la fecante de l'arc donné.

B

SECONDE PARTIE.

De la conftruction des Tables des Sinus. des Tangentes, & des Secantes.

PROPOSITION FONDAMENTALE

De la maniere de conftruire les Tables des Sinus

Uppofé ce qui a été démontré en la premiere partie, & prenant certaines chofes pour accordées, qui ont été prouvées dans les Elemens d'Euclide, la chofe n'eft pas fi difficile qu'elle paroît d'abord.

Le diametre du Cercle eft fuppofé valoir 200000 parties par quelques-uns, & par d'autres plus ou moins; mais nous nous tenons à cette divifion com mune, qui eft de 200000. fur ce pied.

Le côté de l'exagone infcrit au Cercle vaut 100000. Car il eft égal au rayon du Cercle (par 15. du 4.)

la

Le côté du triangle équilateral infcrit au Cercle, vaut 173205. Car le quarré d'un tel triangle eft égal à trois fois le quarré du rayon par la 12. du 13.) de forte que fi l'on prend trois fois le quarré de 100000.& que de la fomme on prenne la racine quarrée, ce fera la valeur du côté de ce triangle.

Le côté du quarré infcrit au Cercle, vaut 141421. Car (par la 6. du 4.) le côté du quarré infcrit au

« AnteriorContinuar »