TROISIEME PARTIE. Du calcul des Triangles Rectilignes. PROPOSITION I. Si dans un Triangle rectangle, la base est prise pour A des angles opposez. U Triangle rectangle ABC, si le côté BC, Fig 10 Pour le prouver. Par la définition du Sinus, AB COROLLAIRE. I. Dans un Triangle rectangle la base étant con nuë, avec un des angles, l'on connoîtra l'autre angle & les côtez. Soit BC 37. & l'angle ACB 36 degrez, l'angle ABC son complement a 90 degrez sera de 54 degrez, maintenant le Sinus de 36 degrez eft 58779. & le Sinus de 54. degrez est 80902; ensuite de quoi l'on trouvera AB 21. t. ou environ, & AC T Car comme BC, 100000. est à BC 37. toises ainsi AB, 58779. est à AB 21. toises ou environ. De même, comme BC, 100000, est à BC 37. toises, ainsi AC 80902 est à AC 30. toises ou environ. COROLLAIRE II. La base étant encore donnée avec l'un des côtez on connoîtra les deux autres angles & l'autre côté Soit encore la base BC 37. t. & le côté connu AB 22. t. on trouvera l'angle ACB de 36, degrez 29. minutes. Car comme BC, 37. t. est à BC, 100000. ainsi AB 22. t. est à AB 59459. Sinus de l'angle ACB qui vaut 36 degrez 29 minutes, & pour le côté AC, on le peut trouver, ou par le précedent Corollaire, à cause que l'angle C étant connu, tous les trois le font avec la base; ou par la 47. du 1, COROLLAIRE III. Etant encore donné l'un des côtez avec les an gles, on connoîtra la base & l'autre côté. Soit AC 30. t. & l'angle ABC 55 degrez, on trouvera BC 36. toises. Car comme AC Sinus de l'angle ABC, 81915 est à AC 30 toises, ainsi CB 100000 est à CB 36 toises, & pour le côté AB il se peut trouver par le 1. Corol. ou par la 47 du 1. PROPOSITION II. Si dans un Triangle rectangle, l'un des côtez eft pris : pour le rayon du Cercle, l'autre côté sera la A U Triangle rectangle ABC, le côté AC Fig. 16. étant pris pour le rayon du Cercle; je dis que AB eft la Tangente de l'angle C, & que CB en est la Secante. 1 Car aprés avoir du centre C, & de l'intervalle CA, décrit le Cercle ADE, il est évident (par la définition de la Tangente) que AB perpendiculaire au rayon est la Tangente de l'arc AD, ou de l'angle C. COROLLAIRE I. Etant donc connu, l'un des côtez d'un Trian gle rectangle, avec les angles, l'on connoîtra l'autre côté & la base. Ce Corollaire est une autre maniere de trouver la même chose que ce qui a été trouvé par le Corollaire précedent. Soit AC 53. toises, & l'angle C 34. degrez l'on connoîtra le côté AB 36. toises. Car comme AC 100000 est à AC 53. toises, ainsi AB Tangente de l'angle C 67451, eft à AB 36. toises. De même pour la base CB, comme AC 100000 est à AC 53. toises, ainsi CB Secante de C, 120622 est à CB 63. toises. COR OLLAIRE II. Les côtez d'un Triangle rectangle étant connus a on connoîtra les deux autres angles & la base. : Fig.11. Plan che 2. Au Triangle ADC, le côté AC étant 53. toises, & AB 36. toises, l'on connoîtra premierement la base (par la 47. du 1.) puis on connoîtra l'angle C de 34 degrez 11. minutes. Car comme AC 53. toises est à AC 100000. ainsi AB 36. toif. eft à AB Tangente de l'angle C 67924 dont l'angle vaut 34. degrez 11. minutes. PROPOSITION III. En tout Triangle les côtez font en même raison que les Sinus de leurs angles opposez. A Yant fait passer la circonference d'un Cercle par les sommets des trois angles A, B & C, Fig.16. les trois côtez du Triangle feront des cordes sur lesquelles si on abaisse du centre L, des perpendiculaires, LG, LH, & LI, elles seront chacunes partagées en deux également aux points D, E, F, auffi bien que les arcs qu'elles foûtiennent. Or l'angle Ca pour mesure la moitié de l'arc BGA fur lequel il s'appuye (par la 20 du 3.) mais nous avons dit dans nos définitions, que le Sinus d'un angle étoit la moitié de la corde d'un angle double: cela étant la ligne DB sera donc le Sinus de l'arc GB, ou de l'angle C, par la même raison BE est le Sinus de l'angle A, & CF de l'angle B; mais AB a même raison à sa moitié DB, que BC à sa moitié BE: donc en raison alterne AB est à BC, comme DB Sinus de l'angle C, est à BE Sinus de l'angle A. De même BC sera à CA, comme EC Sinus de l'angle A, eft à CF Sinus de l'angle B. C. Q. F. D. Planche 2. COROLLAIRE. Il fuit de cette Proposition que dans un Triangle qui n'est pas rectangle, tel que EFG; fi l'on conEG de 12. toises, l'on connoîtra aisément par le moyen de l'angle G de 54. le côté EF qui lui est opposé; en faisant cette analogie. Comme le Sinus 68199 de l'angle de 43. degrez est à 12. toifes côté opposé, ainsi 81915 Sinus de 54. degrez est au côté EF que je cherche, & qui se trouve ici de 14. toises, & prés d'un tiers. Il est bon de remarquer que dans les Corollaires précedents, aussi bien que dans celui-ci, lorsqu'on dit en analogie, comme le Sinus de cet angle là est à ce côté-ci, ainsi le Sinus de cet angle-ci eft à ce côté-là; c'est la même chose que si l'on difoit fi le Sinus de cet angle là m'a donné tant pour son côté opposé, que donnera cet angle-ci pour son côté opposé que je cherche. Ceci est comme vous voyez l'opération de la Regle de Trois. 1 : PROPOSITION IV. La somme des deux côtez inégaux d'un Triangle qus n'est pas équilateral, est à leur difference, comme la Tangente de la moitié de la somme des deux angles opposez à ces deux côtez inégaux, est à la Tangente de la moitié de la difference des mêmes angles. J E dis que des deux côtez inégaux AC, BC, du Plan Triangle ABC, la fomme est à leur difference che 2 comme la Tangente de la moitié de la fomme des Fig. 144 angles A, B opposez à ses deux côtez, est à la Tangente de la moitié de la difference des mêmes angles AB. Décrivez de l'angle C, compris par les deux côtez AC, BC, dont il eft question, par la pointe de l'un de leurs angles opposez A, B, comme par la pointe B, une circonference de Cercle EBDH. Prolongez l'un des deux mêmes côtez AC, BC, |