comme AC, de part & d'autre jusqu'à la circonfe rence du Cercle aux points D, E, & joignez les droites BD, BE, qui feront perpendiculaires entre elles (par la 31. du 3.) & alors on connoîtra aifément que AD est la somme des côtez ĄC, BC; à cause des deux lignes égales BC, CD, & que AE est la difference des mêmes côtez AC, BC, cause des deux lignes égales BC, CE. Tirez enco re du point E, la droite EF parallele à la droite BD, & par conféquent perpendiculaire à la ligne BE (par la 29 dur.) laquelle ligne EF rencontre le troifiéme côté AB prolongé en F. Décrivez encore du point E par le point B, l'arc de Cercle BG, qui (par la 16. du 3 ) sera touché en B par la droite BD, laquelle par conféquent sera la Tangente de cet arc BG, ou de l'angle BED qu'il mesure, à l'égard du Sinus total EB : & du point B par le point El'arc EI, qui (par la 16 du 3.) sera touchée en E, par la droite EF, laquelle par conféquent sera la Tangente de l'arc El, ou de l'angle AEB qu'il mesure; & alors on connoîtra (par la 32. du 1.) que l'angle BCD, eft la somme des deux angles A, B, & (par la 20. du 3.) que l'angle BED est la moitié de cette somme; d'où il suit que la ligne BD est la Tangente de la moitié de la somme des angles A, B, à l'égard du rayon EB, on connoîtra aussi (par la 32 du 1 ) que l'angle A furpaffe l'anglé BED, du petit angle ABE, & que l'angle B

eft furpaflé par le même angle BED, ou BEC fon Plan- égal (par las dui ) du même petit angle ABE, che 2. & que par conféquent ce perit angle ABE est la Fig. 14. moitié de la difference des deux angles A, B, &

qu'ainsi la Tangente de la moitié de leur difference est EF. Je dis donc que la somme des côtez AD, est à leur difference AE, comme la Tangente BD

gente EF de la moitié de leur difference.

Parce que les deux lignes DB, EF font paralleles ( par la Construction ) les deux angles alternes BDE, DEF, feront égaux (par la 29 du 1.) & parce que les deux angles opposez au sommer BAD, EAF, font aussi égaux entr'eux (par la 15. du 1.) il s'enfuit (par la 32. du 1.) que les deux Triangles ABD, ABF font équiangles; & (par la 4. du 6.) que les quatre lignes AD, AE, BD, EF sont proportionnelles. C. Q. F. D.

Il s'enfuit de là que si deux côtez d'un Triangle scalene, font donnez, avec l'angle qui eft enfermé par ses deux côtez, on trouvera les deux autres angles, & le troifiéme côté, par exemple.

Au Triangle ABC, & le côté AB étant de 45. toises, AC de 30. toises, & l'angle A qui est en- Plan fermé par fes deux côtez, de 95.degrez l'angle C. che -2 sera trouvé de 52. degrez 53. minutes. Car en Fig 194 ôtant l'angle A qui est connu de 180. degrez, ref tera 85. degrez pour la somme des deux angles B,

& C.

Or comme la somme des deux côtez AB, AC, 75 toises, est à leur difference 15. toises, ainsi 91633. Tangente de 42. degrez 30. minutes, moitié des deux angles B & C, eft à 18326. Tangente d'un autre angle, dont le plus grand angle C, furpaffe cette moitié; mais par les Tables on trouve que 18326. est la Tangente de 10. 23. minutes. Si donc l'on ajoute 10. deg. 23. min. avec 42 degrez 30. minutes, moitié des deux angles, il viendra 12. degrez 53. min. pour le plus grand angle C. D'où il s'enfuit que si l'on ôte ces to. degrez 23. minutes, de 42. degrez 30. minutes,

Plauche 2.

il restera 32 degrez 7. minutes pour l'angle B.

Quant au côté BC, il sera trouvé de 56. toises car comme 53164. Sinus de l'angle B est à son côté opposé 30. toises, ainsi 99619. Sinus de l'angle A, qui est le même que celui de fon complement à deux droits, ou de 85. degrez est à son côté opposé BC, 56. toises.

PROPOSITION V.

Si dans un Triangle qui ne soit pas équilateral, on tire du plus grand angle sur la base une perpendiculaire qui la divise en deux segments inégaux, il y aura même raison de cette base à la somme des deux autres côtez, que de leur difference, à la difference des fegments.

E dis que fi du plus grand angle C, du Trian gle ABC, dont les deuz côtez AC, BC, font

J Fig. 17. inégaux, on tire fur la bafe AB, la perpendiculaire CF qui la divisera en deux segments auffi inégaux AF, BF: il y a même raison de la bafe AB, à la fomme des deux autres côtez AC, BC, que de leur difference à la difference des segments AF, BF,

Décrivez comme auparavant de l'angle C,à l'intervalle de l'un des deux côtez AC, BC, comme du plus grand BC, une circonference de Cercle BEGD; & prolongés l'autre côté AC, & la base AB, jufqu'à la circonference du Cercle aux points D, E, G, & vous aurez AD pour la somme des côtez AG, BC, à cause des lignes égales BC, CD: AE pour la difference des mêmes côtez AC, BC, à cause des lignes égales BC, CE: & AG pour la difference des segments AF, BF à cause des lignes

la base AB est à la somme des côtez AD, comme leur difference AE, est la difference AG, des seg

ments.

Parce le rectangle sous les lignes AB, AG est égal au rectangle des lignes AD, AE (par la 35. du 3.) il s'enfuit (par la 14. du 6.) que les quatre lignes AB, AD, AE, AG sont proportionnelles. C. Q. F. D.

COROLLAIRE.

Etant donc connus les côtez d'un Triangle sca- Planlene, pour connoître ses angles, il faut du plus che 2. grand angle abaisser une perpendiculaire fur la ba- Fig.19. se, & l'on trouvera les segments de la base, & la valeur de la perpendiculaire, & ensuite les angles du Triangle. Par exemple.

Au Triangle ABC, le côté AB étant 48. toises AC 26. & BC 54. du plus grand A étant abaiffé la perpendiculaire AF, on trouvera FB 42. toises, & FC.. 12. toises.

Car comme BC 54. toises est BA, & AC 74. toises, ainsi BG 22. toises (difference des deux côrez BA, AC) est à BE 30. toises &, ôtant donc BE de BC, reste EC 24. toises, & divisant EC en deux également par la perpendiculaire AF, FC, vaudra 12. toises, & BF 42. toises.

On connoît donc les Sections BF, FC, maintenant pour trouver les angles, voici comme il faut proceder.

Dautant qu'au Triangle rectangle AFB, la base AB, & le côté BF sont connus, on trouvera l'angle B de 28. deg. (par les Corollaires de la 1. & 2.) de même l'angle sera trouvé dans le Triangle rectangle AFC; ce qui étant trouvé, le troisieme BAC est aussi connu étant le complement

Plan

Remarquez que quand le Triangle est Ifocele files trois côtez sont connus, pour connoître les angles, il faut du sommet de l'angle enfermé des deux côtez égaux abaiffer une perpendiculaire, qui coupera la base en deux parties égales, & partant on aura deux côtez & l'angle droit connu; & pour connoître le reste, il faudra operer suivant le 2. Corollaire de la premiere Prop.

Aprés avoir donné dans les Corollaires précedens la maniere de trouver les angles & les côtez des Triangles; par le moyen des Sinus, des Tangentes & des Secantes, il est à propos de finir cette troifiéme partie & de donner quelques Problêmes qui enseignent la maniere de trouver les côtez, & les angles d'un Triangle par le moyen des Logarithmes, & pour en faciliter l'usage; dautant que l'on agit bien plus brievement par cette voye ci que par la précendente, puisqu'au lieu de multiplier & de diviser, il n'est besoin que d'additionner & fouftraire; ce qui donne beaucoup de facilité dans la pratique.

PROBLEME.

Dans le Triangle ABC, on a l'angle droit G che 2. de connu, & l'angle aigu A avec le côté AC, on Fig.10. demande la valeur du côté BC, il faut proceder

T

ainfi, comme le Sinus Total de 100000000 est à la Tangente de l'angle A de 49. deg. dont le Logarithme est de 100608369. ainsi le Logarithme du côté AC de 20. toises, qui est de 13010300. eft au Logarithme du côté BC que je cherche.

Remarquez qu'au lieu d'avoir mis fimplement le côté de 20. toises comme ci-devant, on a mis son Logarithme qu'on a cherché dans la seconde