Imágenes de páginas
PDF
EPUB

!

comme AC, de part & d'autre jufqu'à la circonfe rence du Cercle aux points D, E, & joignez les droites BD, BE, qui feront perpendiculaires entre elles ( par la 31. du 3.) & alors on connoîtra aifément que AD eft la fomme des côtez AC, BC; à caufe des deux lignes égales BC, CD, & que AE eft la difference des mêmes côtez AC, BC, caufe des deux lignes égales BC, CE. Tirez enco re du point E, la droite EF parallele à la droite BD, & par conféquent perpendiculaire à la ligne BE (par la 29. du r.) laquelle ligne EF rencontre le troifiéme côté AB prolongé en F. Décrivez encore du point E par le point B, l'arc de Cercle BG, qui (par la 16. du 3) fera touché en B par la droite BD, laquelle par conféquent fera la Tangente de cet arc BG, ou de l'angle BED qu'il mesure, à l'égard du Sinus total EB : & du point B par le point E, l'arc EI, qui (par la 16 du 3.) fera touchée en E, par la droite EF, laquelle par conséquent fera la Tangente de l'arc El, ou de l'angle AEB qu'il mefure; & alors on connoîtra (par la 32. du 1.) que l'angle BCD, eft la fomme des deux angles A, B, & (par la 20. du 3.) que l'angle BED eft la moitié de cette fomme; d'où il fuit que la ligne BD eft la Tangente de la moitié de la fomme des angles A, B, à l'égard du rayon EB, on connoîtra auffi (par la 32 du 1) que l'angle A furpaffe l'angle BE, du petit angle ABE, & que l'angle B eft furpaffé par le même angle BED, ou BEC fon Plan- égal (par las du 1 ) du même petit angle ABE, the 2. & que par conféquent ce petit angle ABE eft la Fig. 14. moitié de la difference des deux angles A, B, &

qu'ainfi la Tangente de la moitié de leur difference eft EF. Je dis donc que la fomme des côtez AD, eft à leur difference AE, comme la Tangente BD

[ocr errors]

gente EF de la moitié de leur difference.

Parce que les deux lignes DB, EF font paralleles (par la Conftruction) les deux angles alternes, BDE, DEF, feront égaux (par la 29 du 1.) & parce que les deux angles oppofez au fommet BAD, EAF, font auffi égaux, entr'eux (par la 15. du 1.) il s'enfuit (par la 32. du 1.) que les deux Triangles ABD, ABF font équiangles; & (par la 4. du 6.) que les quatre lignes AD, AE, BD, EF font proportionnelles. C. Q. F. D.

COROLLA IR L.

Il s'enfuit de là que fi deux côtez d'un Triangle fcalene, font donnez, avec l'angle qui eft enfermé par fes deux côtez, on trouvera les deux autres angles, & le troifiéme côté, par exemple.

Au Triangle ABC, & le côté AB étant de 45. toifes, AC de 30. toifes, & l'angle A qui eft en- Planfermé par fes deux côtez, de 95.degrez l'angle C. che-2 fera trouvé de 52. degrez 53. minutes. Car en Fig.19 ôtant l'angle A qui eft connu de 180. degrez, reftera 85. degrez pour la fomme des deux angles B,

& C.

Or comme la fomme des deux côtez AB, AC, 75 toifes, eft à leur difference 15., toiles, ainfi 91633. Tangente de 42. degrez 30. minutes, moitié des deux angles B & C, eft à 18326. Tangente d'un autre angle, dont le plus grand angle C, furpaffe cette moitié; mais par les Tables on trouve que 18326. eft la Tangente de 10. 23. minutes. Si donc l'on ajoute 10. deg. 23. min. avec 42 degrez 30. minutes, moitié des deux angles. il viendra 52. degrez 53.min. pour le plus grand angle C. D'où il s'enfuit que fi l'on ôte ces fo. degrez 23. minutes, de 42. degrez 30, minutes

[ocr errors]

Plau

che 2. Fig. 17.

il reftera 32 degrez 7. minutes pour l'angle B.

Quant au côté BC, il fera trouvé de 56. toifes; car comme 53164. Sinus de l'angle B eft à fon côté oppofé 3 o. toifes, ainfi 99619. Sinus de l'angle A, qui eft le même que celui de fon complement à deux droits, ou de 85. degrez eft à fon côté oppofé BC, 56. toifes.

PROPOSITION V.

Si dans un Triangle qui ne foit pas équilateral, on tire du plus grand angle fur la base une perpendiculaire qui la divife en deux fegments inégaux, il y aura même raifon de cette bafe à la fomme des deux autres côtez, que de leur difference, à la difference des fegments.

J

E dis que fi du plus grand angle C, du Trians gle ABC, dont les deuz côtez AC, BC, font inégaux, on tire fur la bafe AB, la perpendiculaire CF qui la divifera en deux fegments auffi inégaux AF, BF: il y a même raifon de la bafe AB, a la fomme des deux autres côtez AC, BC, que de leur difference à la difference des fegments AF, BF. S

Décrivez comme auparavant de l'angle C,à l'intervalle de l'un des deux côtez AC, BC, comme du plus grand BC, une circonference de Cercle BEGD; & prolongés l'autre côté AC, & la base AB, jufqu'à la circonference du Cercle aux points D, -E, G, & vous aurez AD pour la fomme des côtez AC, BC, à caufe des lignes égales BC, CD: AE pour la difference des mêmes côtez AC, BC, à caufe des lignes égales BC, CE & AG la difference des fegments AF, BF à caufe des lignes égales FG, FB, (par la 3. du 3.) je dis donc que

pour

la base AB eft à la fomme des côtez AD, comme leur difference AE, eft la difference AG, des feg

ments.

Parce le rectangle fous les lignes AB, AG eft égal au rectangle des lignes AD, AE ( par la 35. du 3.) il s'enfuit ( par la 14. du 6.) que les quatre lignes AB, AD, AE, AG font proportionnelles. C. Q. F. D.

COROLLAIRE.

Etant donc connus les côtez d'un Triangle fca- Planlene, pour connoître fes angles, il faut du plus che 2. grand angle abaiffer une perpendiculaire fur la ba- Fig.19. fe, & l'on trouvera les fegments de la base, & la valeur de la perpendiculaire, & enfuite les angles du Triangle. Par exemple.

Au Triangle ABC, le côté AB étant 48. toifes AC 26. & BC 54. du plus grand A étant abaiffé la perpendiculaire AF, on trouvera FB 42. toises, FC. 12. toifes.

27

&

Car comme BC 54 toifes eft BA, & AC 74toises, ainfi BG 22. toifes (difference des deux côtez BA, AC) eft à BE 30. toiles &, ôtant donc BE de BC, refte EC 24. toifes, & divifant EC en deux également par la perpendiculaire AF, FC, vaudra 12. toifes, & BF 42. toifes.

On connoît donc les Sections BF, FC, maintenant pour trouver les angles, voici comme il faut proceder.

Dautant qu'au Triangle rectangle AFB, la bafe AB, & le côté BF font connus, on trouvera l'angle B de 28. deg. ( par les Corollaires de la 1. & 2.) de même l'angleC fera trouvé dans le Triangle rectangle AFC; ce qui étant trouvé, le troifiéme BAC eft auffi connu étant le complement

Plan

Remarquez que quand le Triangle eft Ifocele files trois côtez font connus, pour connoître les angles, il faut du fommet de l'angle enfermé des deux côtez égaux abaiffer une perpendiculaire qui coupera la bafe en deux parties égales, & partant on aura deux côtez & l'angle droit connu; & pour connoître le refte, il faudra operer fuivant le 2. Corollaire de la premiere Prop.

Aprés avoir donné dans les Corollaires précedens la maniere de trouver les angles & les côtez des Triangles; par le moyen des Sinus, des Tangentes & des Secantes, il eft à propos de finir cette troifiéme partie & de donner quelques Problêmes qui enfeignent la maniere de trouver les côtez, & les angles d'un Triangle par le moyen des Logarithmes, & pour en faciliter l'ufage; dautant que l'on agit bien plus brievement par cette voye ci que par la précendente, puifqu'au lieu de multiplier & de divifer, il n'eft befoin que d'additionner & fouftraire; ce qui donne beaucoup de facilité dans la pratique.

PROBLEM E.

Dans le Triangle ABC, on a l'angle droit G che 2. de connu, & l'angle aigu A avec le côté AC, on Fig.20. demande la valeur du côté BC, il faut proceder

ainfi, comme le Sinus Total de 100000000 eft à la Tangente de l'angle A de 49. deg. dont le Logarithme eft de 100608369. ainfi le Logarithme du côté AC de 20. toifes, qui eft de 13010300. eft au Logarithme du côté BC que je cherche.

Remarquez qu'au lieu d'avoir mis fimplement le côté de 2o. toifes comme ci-devant, on a mis fon Logarithme qu'on a cherché dans la feconde

« AnteriorContinuar »