celui sur lequel on mesure les degrez de distance de l'Eclyptique à l'Equateur.

THEOREME VI.

L'arc d'un grand Cercle tombant sur l'arc d'un autre grand Cercle, fait deux angles droits, ou deux angles égaux à deux droits.

Prenez encore pour exemple l'Equateur qui tombant sur un des colures, fait deux angles droits, le point angulaire étant un point cardinal, il fera deux angles droits, dis-je, puisque l'un de ses an gles a pour mesure la distance qu'il y a d'un des poles au point où il coupe le colure, qui est un quart de Cercle; & pareillement l'autre angle aura pour mesure la distance de ce même point à l'autre pole du monde qui est aussi un quart de Cercle. De mê me quand l'Eclyptique est oblique, il fait un angle droit & un angle obtus avec I orison rationnel, lesquels ont ensemble pour mesure un demi Cercle, qui est la distance d'un des poles du monde à l'autre.

THEOREME VII.

Si deux arcs de grands Cercles s'entrecoupent, ils font les angles opposez au sommet égaux entr'eux. Ce qu'on dit des arcs de Cercles, se peut dire des Cercles entiers; ainsi confiderez sur la Sphere l'Equateur & l'Eclyptique qui s'entrecoupans au pole de l'horifon rationnel qui est un des points cardinaux, font des angles au sommet égaux, ce qui s'enrend de foi-même.

THEOREME VIII.

Si un Triangle Spherique est ifocele, il a les angles sur la base égaux entr'eux, & au contraire s'il a les angles sur la base égaux entr'eux, il est ifocele.

Ceci est trop clair pour mériter une démonftra tion particuliere.

THEOREME IX.

Si de la pointe d'un Triangle Spherique comme pole, on décrit tant que l'on voudra des Cercles inégaux, les arcs de ces Cercles feront semblables.

Confiderez la Sphere celeste, où un des poles du monde étant pris pour le point angulaire d'un angle Spherique, dont les côtez peuvent être pris fur deux meridiens, qui s'entrecouperoient à ce même pole; il est aifé de voir qu'un Tropique, & un Polaire peuvent être confiderez comme ayant été décrits du pole, & qu'ils font coupez par les deux parties des meridiens qui forment un angle, & que les arcs de ces Cercles qu'ils renferment sont égaux, puisqu'ils renferment chacun un même nom bre de degrez.

THEOREME X.

Chacun des deux angles obliques d'un Triangle Spherique rectangle est de même affection que fon

J

côté opposé.

E dis premierement que fi le côté AC du Trian- Fig. 21, gle Spherique ABC rectangle en A, est moindre qu'un quart de Cercle, fon angle opposé B est,

Fig 22.

Plan

ches.

lig. 23.

Si l'on prolonge le côté AC jusqu'en D, en for te que AD foit un quart de Cercle, & que par les deux points B, D, on faffe paffer l'arc du grand Cercle BD, on connoîtra que puisque l'angle A eft droit, & AD un quart de Cercle, le point Deft le pole de l'arc AB, que par confequent l'angle ABDest droit. D'où il suit que l'angle ABC eft aigu.

Je dis en second lieu que fi le côté AC du Triangle Spherique ABC rectangle en A, est plus grand qu'un quart de Cercle, son angle opposé B est obtus.

Si l'on retranche du côté AC, le quart de Cercle AD, & que par les deux points B, D, on faffe paffer l'arc de grand Cercle BD, on connoîtra comme auparavant que le point D est le pole de l'arc AB, & que l'angle ABD est droit. D'où il suit que l'angle ABC eft obtus.

Enfin je dis que si le côté AC du même Triangle ABC est un quart de Cercle, son angle oppofé B sera droit, parce que dans ce cas le point C sera le pole de l'arc AB, & l'angle B fera par confequent droit.

THEOREME XI.

Si les deux côtez d'un Triangle Spherique rectangle, font chacun aigu, ou chacun obtus, l'hypotenuse fera moindre qu'un quart de Cercle; & fi l'un est aigu & l'autre obtus, l'hypotenuse fera plus grande qu'un quart de Cercle.

J

E dis premierement que si chacun de deux côtez AC, BC, du Triangle Spherique ABC rectangle en B, est aigu, l'hypotenuse AC eft moindre qu'un quart de Cercle.

F, jusqu'à ce que les arcs AD, BF foient chacun un quart de Cerde, & faites passer par les deux points D, F, l'arc de grand Cercle LEF, qui coupe ici l'hypotenuse AC prolongée au point E.

Parce que l'angle B est droit, & que BF eft un quart de Cercle, le point F fera le pole de l'arc AB, & l'angle D sera auffi droit, & parce que AD est aussi un quart de Cercle, le point A fera le pole de l'arc DE, & AE fera un quart de Cer- Plancle, & l'hypotenuse AC fera par confequent moin- che 3. dre qu'un quart de Cercle.

Je dis pareillement que si chacun des deux côtez AB, BC, du Triangle Spherique ABC rectangle en B, eft obtus, l'hypotenufe AC eft moindre qu'un quart de Cercle.

Retranchez des deux côtez AB, BC les quarts de Cercle AD, BF, & faites passer par les deux points D, F, l'arc de grand Cercle DFE, qui qui étant prolongé rencontre ici l'hypotenuse AC, aussi prolongée au point E.

En lifant la démonstration précedente sur cette figure on connoîtra comme auparavant, que l'arc AE est un quart de Cercle, & que par confequent l'hypotenuse AC est moindre qu'un quart de Cercle.

Fig.30.

Je dis en second lieu que si le côté AB est obtus, Plan& le côté BC aigu, du Triangle Spherique ABC che 3. rectangle en B, l'hypotenuse est plus grande qu'un Fig.31. quart de Cercle.

Ayant retranché du côté AB, le quart de Cercle AD, & prolongé l'autre côté BC en F, en forte que BF soit un quart de Cercle, faites paffer par les deux points D, F, l'arc de grand Cercle DEF, qui coupent ici l'hypotenuse AC, au point E. En lifant pareillement la démonstration précedente fur cette figure, on connoîtra comme aupa

Plan

ravant, que l'arc AE est un quart de Cercle, & que par confequent l'hypotenuse AC est plus gran de qu'un quart de Cercle.

che 3. Il est évident que fi chacun des deux côtez AB, ig. 1. BC, étoit un quart de Cercle, l'hypotenuse AC feroit auffiun quart de Cercle, parce qu'en ce cas les trois angles du Triangle ABC fercient droits (par le Theor. 10.) & que chacun de ces angles seroit le pole de son côté oppofé, & l'hypotenu se AC par consequent un quart de Cercle.

COROLLAIRE I.

Il fuit de ce Theorême que si les deux angles obliques d'un Triangle Spherique sont de même affection, l'hypotenuse sera moindre qu'un quart de Cercle, & plus grande s'ils font de differente affection. Parce que (par le Theor. 10.) ces angles font de même affection que leurs côtez op posez.

COROLLAIRE II.

Il s'enfuit aussi que si l'hypotenuse d'un Triangle Spherique rectangle est moindre qu'un quart de Cercle, les deux côtez, ou bien les deux angles obliques, feront entr'eux de même affection, & de differente affection si l'hypotenuse est plus grande qu'un quart de Cercle. Parce que fi dans le premier cas les côtez étoient de differente affection, l'hypotenuse feroit plus grande qu'un quart de Cercle, comme il a été démontré, ce qui eft contraire à la supposition de ce premier cas; & que fi dans le second cas les deux côtez étoient de même affection, l'hypotenuse seroit moindre qu'un