la ligne droite FH qui est Sinus droit de larc FB, Fig. 1. l'est aussi de son arc de supplément FIA, ou de l'angle FCA dont cet arc est la mesure; ce qui est évident par la définition du Sinus droit.

X. Sinus verse d'un arc, ou de l'angle dont cet arc est la mesure, est la partie du diametre comprise entre le Sinus droit, & l'extremité de cet arc. Ainsi la ligne droite, ou partie du diametre HB, est Sinus verse de l'arc FB, ou de l'angle FCB dont cet arc est la mesure ; & la ligne LI eft aufA Sinus verse de l'arc FI.

Le Sinus verse d'un arc étant joint au Sinus verse de son supplément au demi Cercle, égale toûjours le diametre; ainsi la ligne BH qui eft Sinus verse de l'arc BF, étant jointe à la ligne HA qui est Sinus verse du supplément FIA, égale le dia

Fig. 1. metre AB.

XI. Tangente d'un arc, ou de l'angle que cet arc mesure, est la ligne droite élevée perpendiculairement au bout du diametre, lequel passe à l'une des extremitez de cet arc, prolongée jusqu'à ce qu'elle rencontre le rayon du centre, qui paffant par l'autre extremité du même arc, eft auffi prolongée; ainsi la ligne BE qui est perpendiculaire à l'extremité B du diametre AB, & prolongée jusqu'à ce qu'elle rencontre le rayon CF, prolongé qui pafsse à l'autre extremité F du même arc, eft la tangente de l'arc FB, ou de l'angle FCB, dont il est la mesure,

XII. Secante d'un arc, ou de l'angle que cet arc mesure, est le rayon ou demi diametre qui passant à l'une des extremitez de l'arc, va étant

ou rayon CE, qui passe par l'extremité F, va étant prolongée rencontrer la tangente au point E, c'est Fig. 1. la fecaute de l'arc BF.

REMARQUE.

Le Sinus total, ou Sinus de l'angle droit. est toûjours un demi diamettre. Ainfi le rayon IC est Sinus droit de l'angle droit ICB, ou bien de ICA.

P.DC

PREMIERE PARTIE.

DE LA CONSTRUCTION

A

DES TABLES.

Prés avoir défini ce que c'est que Sinus, Tangente & Secante : nous dirons que les Geometres, qui les premiers ont connu l'utilité des Sinus, ont divisé le rayon en 60. parties égales, & chaque partie en 60. autres parties plus petites qu'ils ont appellées minutes. C'est là dessus qu'ils ont calculé des Tables, pour sçavoir la valeur de tous les Sinus des angles depuis une minute jusqu'à 90. degrez, pour pouvoir connoître par exemple la valeur du Sinus d'un angle de 54. degrez 30. minutes, ou de 86. degrez 18. minutes, en un mot toute forte d'angles. Mais les Geometres modernes ayant reconu que les operations que l'on faisoit par le moyen de ces Tables, n'étoient pas affez précises, afin d'éviter ce défaut, ont calculé d'autres Tables dont le Sinus total, ou le rayon du Cercle est supposé de 100000. parties, & même de 10000000. C'est la construction de ces Tables que nous allons enseigner en peu de mots, & par les voyes les plus aisées dans la premiere & feconde partie de ce Traité.

PROPOSITION I.

THEOREME.

La foutendante d'un arc est double du Sinus de la moitié du même arc.

L

A ligne BC foutendante de l'arc BDC est dou- Fig. 2. ble du Sinus de l'arc BD qui en est la moitié ; car le rayon AD divisant BC en deux également, la coupera aussi perpendiculairement (par la 3. du 3.) donc BE fera. Sinus de l'arc BD; mais BC est double de BE', & l'arc BDC est double de BD; donc BC sera double du Sinus d'un angle qui sera la moitié de celui dont elle est la foutendante.

COROLLAIRE.

Il s'enfuit de là que la foutendante d'un are étant connuë, l'on aura le Sinus d'un arc qui sera la moitié de l'arc proposé; ainsi la foutendante d'un arc de 60. degrez, qui est égal au rayon du Cercle, étant donné à sçavoir 100000. le Sinus de trente degrez sera 50000.

Fig. 3.

PROPOSITION II.

THEOREME.

Le quarré du Sinus droit d'un arc, avec le quarré du Sinus droit de son complement, sont égaux

A

au quarré du rayon.

U quart de Cercle BC, dont le rayon est AD, foit DF Sinus de l'arc DC, & DE Sinus de fon complement BD, je dis que les quarrez de ces deux Sinus DF, DE font égaux au quarré du rayon AD.

Car puisque BC est un quart de Cercle, CA est perpendiculaire à AB; mais DE est aussi perpendiculaire à AB, par la definition du Sinus; donc DE & CA font paralleles; & par la même raison BA & DF font auffi paralleles; & partant FE est un parallelograme, dont le côté DE est égal à fon oppofé FA; mais le quarré de AD est égal aux quarrez de DF & de FA, ou de son égal DE; par confequent le quarré de DF, Sinus droit de l'arc DC, & le quarré de DE Sinus droit de son complement DB, sont égaux au quarré du rayon AD. C. Q. F. D.

۱

COROLLAIRE.

Il s'enfuit de là que le Sinus droit d'un arc étant donné, l'on aura le Sinus droit de son complement au quart de Cercle; car fi l'on ôte le quarré du Sinus donné, du quarré du rayon, il restera le quarré du Sinus de son complement, dont la racine quarrée sera le Sinus cherché.