13. FIG. 4. & S. * Art. 7. * Art. 5. L COROLLAIRE I I. 15. Il est évident * qu'il n'y a que la ligne LAL pa rallele aux ordonnées à l'axe AP, qui puiffe être tangente de la parabole MAM au point A origine de l'axe; puifqu'il n'y a que cette feule ligne qui paffant par point A, & étant continuée de part & d'autre, ne rencontre la parabole en aucun autre point, & n'entre pas dedans, DEFINITION S. 9. le Si l'on mene par un point quelconque M de la parabole un diametre MO, une ordonnée MP à l'axe AP, & une ligne droite MT qui coupe fur l'axe AP prolongé au delà de fon origine A, la partie AT égale à AP; toutes les lignes droites, comme ÑO, menées des points de la parabole parallelement à MT, & terminées par le diametre MO, font appellées Ordonnées à ce diametre. IO. Si l'on prend la ligne q troifiéme proportionnelle à AT, MT; cette ligne q fera nommée lê Parametre du diame 16. Si l'on nomme l'indéterminée AP ou AT, x; il qx, puifque AT (x). MT:: MT. 9. eft clair que MT 2 COROLLAIRE 2 II. 17. A Caufe du triangle rectangle MPT, le quarré MT (qx) = PT (4xx)+ML2 * (px); d'où, en divifant par x l'on tire q=4x→p. C'eft à dire que le parametre q d'un diametre quelconque MO, furpaffe le parametre`p de l'axe du quadruple de AP (x). I COROLLAIRE III, 18. Si l'on tire du point M au foyer F la droite MF, on aura MF*—APAF, Or selon la définition 5e. le le parametre de l'axe étant p=4AF, le parametre du diametre MO′fera* q=4AP+4AF. Donc le * Art. 17. parametre q d'un diametre quelconque MO, vaut quatre fois la ligne MF tirée de fon origine M au foyer F. PROPOSITION IIL E Theorême. 19. Le quarré d'une ordonnée quelconque ON au dia- F16.4.5. metre MO, est égal au rectangle du parametre q, par la partie MO de ce diametre, prife entre fon origine M & la rencontre de l'ordonnée. Il faut prouver que ON2=q×MO. Ayant mené l'ordonnée NQ à l'axe AP, laquelle rencontre le diametre MO au point R, & tiré OH parallele à MP, on nommera les données AP ou AT, x ; PM ou R Q, y; & les indéterminées OR ou HQ a; MO ou PH, b; les triangles femblables TPM, ORN, donneront cette proportion TP (2x). P M (y)::OR (a).RN=2. Cela posé. Puisque (fig. 4.) NQ=RQ (y)—RN(), ou RN (~2)—RQ (y), & AQ=AH(x¬b)—HQ (a), lorfque le point N tombe du côté de l'axe AP par rapport au diametre MO; & qu'au contraire (fig. 5.) NQ. =RQ (y) →RN (2), & AQ=AH (x+b) + HQ (a), lorfqu'il tombe du côté oppose: on aura QN2 = yyazy + dayy, & AQ=x+b+a, sçavoir x 4xx dans le premier cas, & dans le fecond. Or* AP * Art. 3. (x). A.Q (x−b±a) :: PM ̊ (yy).QN'=yy→ by ayy. On formera donc en comparant ensemble ces B byy deux valeurs de QÑ, l'égalité yy++=yy± aayy 4y+y; d'où en effaçant de part & d'autre yy"; x 4xx divifant par yy, & multipliant par 4 xx, l'on tirera OR (aa)=4bx. Mais les triangles femblables MPT, NRO, * Art. 16. donnent PT (4xx). OR (4bx): : MT * ( qx). ON' =b q = q × MO(b). Ce qu'il falloit &c. FIG. 4. & S. L 2. 2 2 COROLLAIRE GENERAL. 20. Il est visible que ce qu'on a démontré dans la propofition premiere par rapport à l'axe AP, à fes ordonnées PM, & à fon parametre p, s'étend par le moyen de cette derniere propofition à un diametre quelconque MO, à fes ordonnées ON, & à fon parametre q. Or comme les articles 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 & 15. fe tirent de la premiere propofition, & fubfiftent également, foit que les angles APM foient droits, ou bien qu'ils ne le foient pas; il s'enfuit que fi l'on imagine dans ces articles que la ligne AP, au lieu d'être l'axe, foit un diametre quelconque, qui ait pour ordonnées les droites PM, QN, & pour parametre la ligne p, ils feront encore vrais dans cette fuppofition; car leur démonstration demeurera la même, & il ne faut pour s'en convaincre entierement, que les relire en mettant partout où fe trouve le mot d'axe, celui de diametre. COROLLAIRE II. 21. COMME même force, lorsque la ligne AP au lieu d'être l'axe, D'où l'on voit que d'un point donné sur une parabole, on ne peut mener qu'une feule tangente. COROLLAIRE III. 22. DE-LA il est évident felon la définition 9. que fi l'on mene par un point quelconque M d'une parabo. le, une ordonnée M P à l'axe AP, & une ligne droite MT qui coupe fur l'axe prolongé du côté de son origine A, la partie AT égale à AP ; cette ligne MT sera tangente en M. Et réciproquement que fi la ligne MT eft tangente en M, & qu'on mene l'ordonnée MP à l'axe; les parties AT, AP, de l'axe feront égales en tr'elles. COROLLAIRE IV. 23. Si l'on imagine dans les définitions 9 & 10, & dans la derniere propofition, que la ligne AP au lieu d'être l'axe, foit un diametre quelconque, qui ait pour ordonnées les droites PM, QN; on verra que cette propofition fera encore vraye, puifqu'elle fe démontrera de la même maniere qu'auparavant, comme il est évident par la feule inspection de la fig. 6. où les triangles femblables donnent les mêmes proportions que dans le cas de l'axe. D'où il fuit 1°. Que le Corollaire précedent doit encore avoir lieu, lorsque la ligne AP au lieu d'être l'axe, eft un diamètre quelconque. 2°. Que le diametre MO peut être l'axe dans cette fuppofition; & qu'ainfi on peut regarder l'axe comme un diametre qui fait avec fes ordonnées des angles droits. PROPOSITION Theorême. IV. 24. S1 par un point quelconque M d'une parabole, l'on FIG. 7: mene une ordonnée MP à l'axe, & une perpendiculaire MG à la tangente MT qui paffe par le point M; je dis que la partie PG de l'axe fera toûjours égale à la moitié de fon parametre p. Il faut prouver que PG=ip. Car à cause des angles droits TPM, TMG, on aura TP (2x). PM (y) :: PM(y). PG==p, en mettant à la place de yy fa valeur * px. 25. PROPOSITION V. Theorême. Sx par un point quelconque M d'une parabole, l'on mene au foyer F la droite MF, un diametre MO, & une tangente TMS; les angles F MT, OMS, faits par la tangente TMS d'un côté avec la droite MF, & de l'autre avec le diametre MO, feront égaux entr'eux. FIG. 8.&9. Car menant l'axe AP qui rencontre en 7 la tangen te TMS, & l'ordonnée MP à l'axe; on aura* TAAF ou TF APAF ou* MF. Le triangle TFM fera donc ifofcelle; & par conféquent l'angle FT M, ou fon égal O MS, fera égal à l'angle FMT. Ce qu'il falloit démontrer. COROLLAIRE. 26. DE-LA il eft clair que la tangente TMS prolon gée indéfiniment de part & d'autre du point touchant M, laiffe la parabole toute entiere du côté de fon foyer F. Et comme cela arrive toûjours en quelque endroit de la parabole que tombe le point touchant M, il s'enfuit que cette ligne courbe eft concave dans toute fon éten duë autour de fon foyer F. 27. UN diametre AP avec la tangente LAL qui passe par fon origine A, & fon paramettre étant donnés; trouver nn diametre BQ qui fasse de part ou d'autre avec fes ordonnées, un angle égal à l'angle donne K, fon origine B, & fon para metre |