ད circonfcrit PQNS devient inscrit dans ce cas-ci. Suppofons 3°. Qu'une ligne courbe telle que ABG, foit compofée de plufieurs portions dont les unes, comme AB, s'éloignent de plus en plus du diametre AG; & les autres au contraire, comme BG, s'en approchent de plus en plus. Je dis que les points, comme B, qui féparent ces portions, ne peuvent tomber fur les arcs MN: car fi celá étoit le point B feroit plus prés du point M que n'eft le point N; ce qui eft contre la fuppofition. Il est donc évident que ce dernier cas eft necessairement renfermé dans l'un ou dans l'autre des deux premiers. 184. DE-LA il fuit que fi l'on mene par tout où l'on voudra une ordonnée CB parallele à PM, & qu'on' imagine que la portion de courbe AB foit divifée en une multitude infinie d'arcs infiniment petits, tels que MN; l'efpace ACB renfermé par les droites AC, CB, & par la portion de courbe AB, fera égal à la fomme de tous les parallelogrammes tels que PQRM ou PONS. Il s'enfuit de même que l'efpace MPCB renfermé par les droites MP, PC, CB, & par la portion de courbe MB, sera égal à la fomme de tout ce qu'il y aura de ces parallelogrammes dans cet efpace; & de même dans toute l'étendue de la courbe ABG. COROLLAIRE II. 185. S'il y a une figure quelconque CMDOC ren- FIG. 105. fermée entre deux paralleles C E, DF, & qu'on imagine par tout où l'on voudra entre ces paralleles deux droites MO, NL, infiniment proches l'une de l'autre, & qui leur foient auffi paralleles; je dis que l'efpace OMNL qu'elles couperont dans la figure CMDOC, fera égal au rectangle d'une d'elles, comme de MO, par leur distance MR ou OS. Car menant la perpendicu laire AB fur les paralleles CE, DF, laquelle rencontre les paralleles MO, NL, aux points P, Q; il est * Art. 183. clair par le Lemme * que l'efpace PM NQ eft égal au réctangle PMRO, & l'efpace POLQ au rectangle POS; & par confequent que l'efpace OMNL eft égal au réctangle OMRS ou OM × P Q · COROLLAIRE III. 186. IL fuit du Corollaire précédent, que s'il y a deux figures quelconques CMDOC, EGFHE renfermées entre deux paralleles CE, DF, & qui foient telles qu'ayant mené entre ces paralleles par tout où l'on voudra une ligne MH paralleles aux droites CE, DF; les parties MO, GH, de cette ligne comprises dans les figures CMDOC, EGFHE, foient toûjours entr'elles en raifon donnée: il fuit, dis-je, que ces deux figures (j'entends les efpaces qu'elles comprennent) font auffi entr'elles en raison donnée. Car imaginant une autre parallele N K infiniment proche de MH, & tirant une perpendiculaire AB fur les paralleles CE, DF, laquelle rencontre les paralleles MH, NK, aux *Art. 185. points P, Q; il eft clair par le Corollaire* précédent que l'efpace OMNL est égal au rectangle O M×PQ, & de même que l'espace GHKI eft égal au rectangle GHXPQ. Ces deux espaces feront donc entr'eux com. me MO eft à GH; & comme cela arrive toûjours en quelque endroit qu'on mene la droite MH, il s'enfuit que la fomme de tous les petits efpaces MN LO, c'est à dire, l'efpace CMDOC fera à la fomme de tous les petits efpaces GHKI, c'eft à dire, à l'espace EGFHE, en la raifon donnée. On prouvera de même que la partie MDO de la figure CMDOC, eft encore à la partie correfpondante GFH de l'autre figure EGF HE, en la raifon donnée : comme auffi les parties reftantes CMO, EGH. Il eft vifible que fi la raison donnée eft celle d'égalité, c'est à dire, que fi les parties MO, GH, de la droite MH, font toûjours égales entr'elles; les efpaces CMDOC, EGF HE, & leur parties correfpondantes MDO, GFH, & CMO, EGH, seront égales entr'elles. LEMME IV. 187. Si l'on fuppofe fur une ligne courbe quelconque un arc F16. 106. infiniment petit MN; & qu'on imagine les tangentes MT, NT, qui fe rencontrent au point T, la foutendante MN, & la droite NS perpendiculaire fur MT prolongée: je dis qu'on peut prendre pour l'arc MN fa foutendante MN, ou la fomme des deux tangentes MT, NT, ou enfin la droite MS. Toute ligne courbe eft néceffairement ou toûjours concave vers un certain endroit, ou compofée de plufieurs portions dont les unes étant concaves vers une certaine part, les autres le font vers le côté oppofé. Or les points qui feparent ces portions * ne peuvent point fe* Art. 183. trouver fur les arcs infiniment petits MN: puifqu'ils se- ”. 3• roient plus prés du point M que n'eft le point N; ce qui eft contre la fuppofition. On peut donc toûjours fuppofer que l'arc M N fait partie d'une courbe ou portion de courbe qui eft toûjours concave vers un certain côté. Maintenant fi l'on prend fur la courbe du côté du point N, l'arc MO d'une grandeur finie, & qu'on tire la foûtendante OM, la tangente O G, & la parallele OD à NS : il est clair 1o. A cause du triangle MDO rectangle en D, que la tangente MD eft moindre que la foûtendante MO, & à plus forte raifon moindre que l'arc MNO; de forte que l'arc MNO & fa foûtendante MO font plus grands chacun que MD, & chacun moindre que la fomme des deux tangentes MG, OG. 2°. A caufe de la concavité de l'arc M NO vers le même côté, fi l'on mene par un point quelconque N de l'arc MO une tangente TR, les points T, R, où elle rencontre les tangentes MG OG, feront fituez entre les points M, G, & O,G; ainsi l'angle OG D, qui eft externe au triangle TGR, eft plus grand que l'angle RTG ou NTS. le Ceci fuppofé, fi l'on mene les droites ME, MF, paralleles aux tangentes OG, NT, & qui rencontrent la droite DO aux points E, F; & qu'on imagine que point o fe meuve fuivant la courbe vers le point M: il est vifible que l'angle OGD, ou fon égal E MD, diminuera continuellement jufqu'à ce qu'il s'évanoüiffe dans l'instant que le point o parvient en M; puifqu'alors la tangente OG fe confond avec la tangente MD: d'où il fuit que la ligne M E diminuë continuellement, jusqu'à ce qu'enfin elle devienne égale à MD dans cet inftant, Donc lorfque le point O eft arrivé en N, c'est à dire, infiniment prés du point M, la ligne ME, alors en MF, ne fera lors differente de la tangente MD, que pour d'une grandeur moindre qu'aucune donnée ; & par con*Art. 182. fequent les lignes TN, TS, dont elles expriment le rapport, feront égales entr'elles. Les deux tangentes MT, TN, prifes enfemble, feront donc égales à la droite MS, comme auffi à l'arc MN, & à la foûten, dante MN. Ce qu'il falloit démontrer, * COROLLAIRE I 188. PUISQUE l'angle FMD, ou fon égal NTS, eft infiniment petit dans la fuppofition que le point N foit infiniment prés du point M, il s'enfuit que dans le trian gle MTN, l'angle interne NMT, qui eft moindre que l'exterieur NTS, fera auffi infiniment petit, c'est à dire, moindre qu'aucun angle donné; & qu'ainfi on ne pourra mener par le point M aucune ligne droite qui tombe dans l'angle TMN. D'où l'on voit que ces deux lignes MT, NM, se confondent entr'elles, & qu'ainfi on peut regarder une tangente comme une ligne droite qui paffe par deux points d'une ligne courbe infiniment proches l'un de l'autre, COROL. COROLLAIRE II. 189. Si l'on imagine qu'une ligne courbe quelconque foit divifée en une multitude infinie d'arcs infiniment petits tels que MN; il eft clair qu'en prenant au lieu de ces arcs leurs foûtendantes, on verra naître un Polygone d'une infinité de côtés, chacun infiniment petit, que fon pourra prendre pour la ligne courbe: puisqu'elle * * Art, 187. n'en differera en aucune maniere. De plus les petits côtés de ce Polygone étant prolongés de part & d'autre, feront les tangentes de cette courbe, puifqu'ils paffent chacun par deux de fes points infiniment proches l'un de l'autre, N REMARQUE. 190. On doit faire ici attention que l'idée ou notion qu'on a donnée des tangentes des Sections Coniques, ne convient qu'aux lignes courbes qui font toûjours concaves dans toute leur étendue vers le même côté, comme font * ces Séctions: au lieu que cette der- * Art. 26. DEFINITIONS, I. Deux fegmens de lignes courbes quelconques BAD, FIG. 107. bad, font appellés Semblables; lorfqu'ayant infcrit dans 108. 109. l'un d'eux une figure réctiligne quelconque BMNOD, on peut toûjours infcrire dans l'autre une figure réctiligne femblable bmnod. 2. Deux Sections Coniques font appellées Semblables; lorfqu'ayant pris dans l'une d'elles un fegment quelcon R |