Ayant mené par l'origine A du diametre donné la ligne A E qui fafle avec ce diametre de part ou d'autre, l'angle PAE égal à l'angle donné K, & trouvé * fur *Art. 14 & cette ligne (prolongée de l'autre côté de A lorfqu'elle 20. ne tombe point dans l'un ou l'autre des angles PAL, PAL) le point M où elle rencontre la parabole, on menera par le point du milieu Q de la ligne AM, une parallele QD au diametre AP, qui rencontre la tangente AL au point D; & on divifera QD par le milieu en B. Je dis que la ligne BQ eft le diametre qu'on cherche, qu'il a pour origine le point B, & pour parametre une troifiéme proportionnelle à BQ & Q A. * Art. 11 & Car 1". La ligne AM étant diviféç en deux parties égales au point par le diametre BQ, elle fera ordonnée de part & d'autre à ce diametre, & comme les lignes BQ, 20. AP font paralleles entr'elles, l'angle BQA que fait le diametre Bo avec fon ordonnée QA fera égal à l'angle PAM égal à l'angle donné K ou à fon complement à deux droits. 2°. Le point du milieu B de la ligne QD fera l'origine de ce diametre, puifque AQ en eft une ordonnée. 3°. Le parametre du diametre BQ eft * la 23 troifiéme proportionnelle à BQ, QA. * *Art. 22& *Art. 19. Lorfque l'angle donnè K n'eft pas droit, il eft clair FIG. 8. qu'on peut mener de part & d'autre du diametre AP deux differentes lignes A E qui faffent avec ce diametre des angles égaux à l'angle donné K; & qu'ainfi on pourra toujours avoir deux folutions differentes, en obfervant que fi l'une des deux lignes AE tomboit fur la tangente AL, le diamettre donné AP fatisferoit luimême à la question. Mais lorsque cet angle K eft droit, comme l'on ne peut mener qu'une feule ligne AE qui FIG. 9. fafle avec le diametre AP un angle droit, il s'enfuit qu'on ne peut avoir alors qu'une folution; & qu'ainfi* *Art. 23. le diametre cherché fera l'axe. Il eft à remarquer que les deux diametres BQ, BQ; qui fatisfont au Problême lorfque l'angle donné K n'eft FIG. 10. pas droit, font semblablement pofés de part & d'autre Art. 19. FIG. II. de l'axe AP, & que leurs parametres font égaux: ce qui fe voit par la conftruction même, en fuppofant que le diametre donné AP foit l'axe, & en menant deux differentes lignes AE, AE de part & d'autre. Car les triangles rectangles ALM, ALM, & ADQ, ADQ étant visiblement égaux & femblables entr'eux, les lignes AD, AD; DQ, DQ; leurs moitiés BQ, BQ; & les ordonnées Q4, QA feront égales entr'elles ; * & par conféquent les parametres le feront aufsi. COROLLAIRE 28. IL eft donc évident, 1o. qu'il n'y a qu'un feul diametre qui faffe avec fes ordonnées des angles droits; & qu'ainfi il ne peut y avoir qu'un feul axe. 2°. Qu'on peut toûjours trouver deux differens diametres, qui faf fent avec leurs ordonnées des angles égaux à un angle donné, lorfque cet angle n'eft pas droit; que ces deux diametres feront femblablement pofés de part & d'au tre de l'axe, & qu'ils auront des parametres égaux, PROPOSITION VIL Problême. 29. UN diametre étant donné avec la tangente qui passe par fon origine, & fon parametres décrire la parabole par un mouvement continu. Si le diametre donné étoit l'axe, on la décriroit felon l'article 4o; mais lorsqu'il ne l'eft pas, foit MO le dia. metre donné, & TMS la tangente qui paffe par son origine M. Cela pofé. On prendra fur le diametre MO prolongé au delà de fon origine M, la partie MD égale au quart de fon parametre, & on tirera une perpendiculaire indéfinie DE à MD. On menera M F qui fasse avec la tangente TMS un angle FMT égal à l'angle OMS; & ayant pris MF égale à MD, on décrira selon la définition premiere, une parabole qui ait pour directrice la ligne DE, & pour foyer le point F. Je dis qu'elle fera celle qu'on demande. Car, 19. La ligne MO étant perpendiculaire à la diréctrice DE, fera parallele à l'axe; & par conféquent un diametre felon la définition 7. 2°. La ligne TMS fera** Art. 25. tangente en M. 3°. Le parametre du diametre MO fera * quadruple de MF. SECOND E MANIERE. * Art. 18. Soit AP le diametre donné, & LAL la tangente F1 G. 12. qui paffe par fon origine A. Cela pofé. Ayant pris fur le diametre AP prolongé au delà de fon origine À la partie AG égale à fon parametre, & mené une droite indéfinie DGD qui faffe avec AG l'angle AGD égal à l'angle GAL pris du même côté; on fera mouvoir une ligne droite indéfinie DM le long de GD toujours parallelement à AG, en entraînant par fon extrêmité D le côté DA de l'angle DAM égal à l'angle GAL, & mobile par fon fommet autour du point fixe A. Je dis que l'interfection continuelle M de la ligne DM & du côté AM, décrira dans ce mouvement la parabole qu'on demande. Car menant MP parallele à AZ, les lignes MP,GD feront égales entr'elles; puifque l'angle APM ou GAL étant égal à l'angle AGD, elles feront également inclinées entre les paralleles GP, DM. Or les triangles AGD, MPA font femblables: car l'angle MPA ou GAL eft égal à l'angle AGD, & l'angle PMA ou MAL égal à Pangle GAD, puifque retranchant des angles égaux GAL, DAM, le même angle DAL, les reftes doivent être égaux. On aura donc AG. GD ou PM :: PM. AP, & partant GA× A P—PM'; d'où il clair que PM est* *Art. 19.& une ordonnée au diametré AP qui a pour origine le 21. point A, pour tangente la ligne LAL, & pour parame tre la ligne AG. Ce qu'il falloit, &c. Si le diametre AP étoit l'axe, alors les lignes GD, FIG. 13. |