2abyy termey & de l'autre le terme + qui lui eft tt -xx * Art, 51. égal, puifque * sx=tt-xx, & divifant par yy, il vient bb aa ttaa- -bb tt-xx Si l'on multiplie par xx, & qu'on transpose bb, on trouvera ou ttxx-aaxx-bbtt ; & multipliant le premier membre par ssxx, & le fecond par le quarré de tt-xx valeur de sx (ce qui fe fait en multipliant fimplement le numerateur par tt-xx) on aura aax4 = txx-aattxx—bbta—ttx^—aax+-+bbttxx; d'où en effa çant de part & d'autre aax4, transposant aattxx, & dipar ttxx, l'on tirera HQ ou QR ̊ (aa) =tt—xx vifant bb bbtt xx Maintenant fi l'on nomme le demi diametre CM ou gles femblables ORN, CKS, donnent ON. CS :: OR * Art. 52. ( it—xx—+bbbb). CK (tt-xx) :: MO×Om (xxxx-bbxx). CM3 (zz). Puisqu'en multipliant les extrêmes & les moyens, on trouve le même produit. Donc ON. * Art. 50. MO×Om :: CS. CM**::Ss. Mm. Ce qu'il falloit &c, COROLLAIRE GENERAL, 55. Il est visible que ce qu'on a démontré dans la Propofition feconde par rapport aux deux axes Aa, Bb, s'étend par le moyen de cette Propofition à deux diametres conjugués quelconques Mm, Ss. Or comme les articles 40, 41, 42, 43, 44, 45, 47,48 & 49, se tirent de la feconde Propofition, & fubfiftent également, soit que l'angle ACB foit droit ou qu'il ne le foit pas; il s'enfuit que fi l'on fuppofe dans ces articles, que les lignes Aa, Bb, au lieu d'être les deux axes, foient deux diametres diametres conjugués quelconques, ils feront encore vrais dans cette fuppofition: car leur démonstration demeurera toûjours la même; & il ne faut pour s'en convaincre entierement, que les relire en mettant par tout où le trouve le mot d'Axe celui de Diametre. COROLLAIRE II. 49, 56. COMME les articles 44 & fubfiftent avec la même force, lorfque les lignes Aa, Bb, au lieu d'être les deux axes, font deux diametres conjugués quelconques, tels que Mm, Ss; il s'enfuit que la ligne MT menée par le point M l'une des extremités d'un diametre quelconque Mm, parallelement à fon diametre conjugué Ss, eft tangente en M, & qu'il n'y a que cette feule ligne qui puifle toucher l'Ellipfe en ce point. D'où l'on voit que d'un point donné fur une Ellipfe, on ne peut mener qu'une feule tangente. COROLLAIRE III. 57. DE-LA il est évident, felon la définition 11o, que fi l'on mene par un point quelconque M d'une Ellipfe, une ordonnée MPà l'un ou l'autre axe Aa; & qu'ayant pris CT du côté du point P, troifiéme proportionnelle à CP, CA, on tire la droite MT: cette ligne MT sera tangente en M, Et réciproquement, que fi la ligne MT tangente en M, & qu'on mene l'ordonnée MP à F'un ou l'autre axe Aa, les parties CP, CA, CT de cet axe, feront en proportion geométrique continuë. est COROLLAIRE IV. 58. Si l'on imagine dans les définitions 11, 12 & 13, & dans les deux dernieres Propofitions, que les lignes Aa, Bb, au lieu d'être les deux axes, foient deux diametres conjugués quelconques; on verra que ces Propofitions feront encore vrayes, puifqu'elles fe démontreront de la même maniere qu'auparavant: comme il eft évident par l'inspection de la figure 23, où les triangles E FIG. 24. *Art. 57. femblables donnent les mêmes proportions que dans le cas des axes. D'où il fuit 1°. Que le Corollaire précedent doit encore avoir lieu, lorsque la ligne Aa, au lieu d'être un axe, eft un diametre quelconque. 2°. Que les diametres conjugués Mm, Ss, peuvent être les deux axes dans cette fuppofition; & qu'ainfi on peut regarder les deux axes comme deux diametres conjugués, qui font entr'eux des angles droits. PROPOSITION VII Theorême. 59. S1 par un point quelconque d'une Ellipfe qui a pour centre le point C, l'on tire une ordonnée MP à l'un des axes Aa, & une perpendiculaire MG à la tangente MT qui passe par le point M: je dis que CP fera toujours à PG en raison donnée de l'axe Aa à fon parametre. Car nommant le demi-axe CA ou Ca, t; & les indéterminées CP, x; PM, y; on aura * CT= #; & par tant PT=*=**. Or les triangles rectangles fembla. tt xx tt-xx サーxx bles TPM, MPG, donnent TP (*—** ). PM(9):: PM (y). PG=2. D'où l'on tire cette proportion CP (x). PG (*) :: AP×Pa (tt−xx). PM ̊ (yy). Puifqu'en multipliant les extrêmes & les moyens, on forme le même produit x yy. Mais le réctangle AP × Pa, au quarré PM, comme l'axe Aa est à son parametre. Donc &c. * Art. 41. est * FIG. 25. PROPOSITION VIII. Theorême. 60. Silon men on mene par un point quelconque M d'une Ellipfe, une tangente TMS, & aux deux foyers F, f, les droites MF, femblables donnent les mêmes proportions que dans le cas des axes. D'où il fuit 1°. Que le Corollaire précedent doit encore avoir lieu, lorfque la ligne Aa, au lieu d'être un axe, eft un diametre quelconque. 2°. Que les diametres conjugués Mm, Ss, peuvent être les deux axes dans cette fuppofition; & qu'ainfi on peut regarder les deux axes comme deux diametres conjugués, qui font entr'eux des angles droits. PROPOSITION VII Theorême. 59. S1 par un point quelconque d'une Ellipfe qui a pour centre le point C, l'on tire une ordonnée MP à l'un des axes Aa, & une perpendiculaire MG à la tangente MT qui passe par le point M: je dis que CP fera toujours à PG en raifon donnée de l'axe Aa à fon parametre. Car nommant le demi-axe CA ou Ca, t; & les indéterminées CP, x; PM, y; on aura* CT=#; & partant PT=*=**. Or les triangles rectangles sembla. bles TPM, MPG, donnent TP (*—** ). PM(9):: PM(y). PG=2. D'où l'on tire cette proportion CP ( x ). PG ( * ) :: AP×Pa (tt—xx).PM ̊ (yy). Puifqu'en multipliant les extrêmes & les moyens, on forme le même produit xyy. Mais le réctangle AP×Pa, est * au_quarré PM, comme l'axe Aa eft à fon metre. Donc &c. tt-xx PROPOSITION VIII. Theorême. para 60. Si l'on mene par un point quelconque M d'une Ellipfe, une tangente TMS, & aux deux foyers F,f, les droites MF, |