petit arc MN peut être regardé * comme la prolon- * Art. 189. gation de la tangente 7 M. Cela pofé, on nommera la foutangente cherchée TP, s; & là petite droite PQ ou MR, e; ce qui donnera R N=2, à cause des triangles femblables TPM, MRN. Or fi l'on met le cube de QN (y→22)à la place de y' dans l'équation ys =axx qui exprime la nature de la courbe AMB; & à la place de xx, le quarré de AQ (xe): il est évident qu'on formera une équation y'➡301 + 3993 zeegs

$3

Ꮽ

+ =axx+2eaxe ea qui exprimera le rap-
port de AQ à QN. Et fi l'on retranche par ordre des
deux membres de cette derniere équation ceux de la
premiere, & qu'on divise ensuite par e, on trouvera
eeys
Boys

-+ + 3=2axea; dans laquelle effaçant tous les termes où e fe rencontre, parce que PQ (e) étant infiniment petite ou nulle, ces termes font nuls par rapport aux autres; il vient enfin 32 =2ax; & partant PT (s) =

393

24%

3

x en mettant pour y' fa va leur axx. Ce qu'il falloit trouver.

REMARQUE.

234. Si l'on fait attention fur le calcul précédent, on verra avec évidence qu'en substituant à la place de la puisfance de y, une pareille puiffance de y+, on n'a besoin que des deux premiers termes de cette puiffance. Car tous les autres étant multipliés par les puiffances de e, ils renferment chacun e, ou des puiffances de e, dans la derniere équation que l'on trouve à la fin de l'operation; & doivent par conféquent être effacés. Il en eft de même lorfqu'on fubftitue à la place de la puiffance de x, une pareille puiffance de x-. Mais fi l'on forme de fuite

toutes les puiffances du binome xe, on aura pour les deux premiers termes de la feconde puiffance x2+2ex; de la troifiéme x3→3exx; de la quatrième x+4ex3; de la cinquième x'+5ex*; & ainfi de fuite à l'infini. De forte que les deux premiers termes d'une puiffance quelconque m de xe, feront xm→m ex m→1. On trouvera de même que les deux premiers termes d'une puiffance quelconque n du binome y+, feront

neyn

COROLLA IR E.

235. DE-L E-LA on voit que pour trouver une expreffion generale de la foutangente PT (s) des Paraboles de tous les degrés à l'infini; il n'y aura qu'à fe fervir de l'équation generale ynxman-m, ou (prenant a pour l'unité) y=xm qui exprime la nature de toutes ces Paraboles. Voici comment.

neyn

On mettra dans l'équation generale ynx à la place de y", les deux premiers termes de la puiffance n de y➡, c'est à dire, y"""; & de même à la place + S de xm, les deux premiers terines de la puiffance m de xe, c'est à dire, xm→mexm-1: ce qui donnera =xm⇒mexm−1. Et retranchant par ordre les membres de la premiere équation de ceux de celleci, & divifant enfuite l'on aura par e,

yn

neyn

nyn

=mxm−1; &

=x en mettant pour y" fa valeur

PROPOSITION XII.

Problême.

FIG. 124 236. MENER les tangentes des Hyperboles de tous les

degrés à l'infini.

La même préparation étant faite

sition précédente, on mettra dans l'équation générale
xmyn=am+n qui exprime le rapport de AP (x) à
PM (y), à la place de xm les deux premiers termes de
la puiffance m de AQ(x+e) c'est à dire, xTM➡mex m➡1;
& de même à la place de y les deux premiers termes de
la puissance n de QN (y-2) c'est à dire y"-"y": ce
qui par la multiplication donne cette autre équation
xmyn➡meynxm—
qui exprimera le rapport de AQà QN. Et retranchant
par ordre des deux membres de cette derniere équa-
tion, ceux de la premiere, & divifant enfuite par eynz

nxm

neynxm mneeynxm-1

équation effaçant le terme

mnexm-I

neyn

=0; dans laquelle

aux deux autres, parce qu'il renferme dans fon expreffion la ligne infiniment petite ou nulle PQ(e), on trouve en transposant à l'ordinaire PT (s) =

nx m mxm-s

X.

m

COROLLA IR E.

L

237. Il est donc évident que pour mener la Tangen FIG. 113. te MT d'un point donné M fur une Parabole ou une Hy. 124. perbole de tel degré qu'on voudra; dont l'équation eft pour la Parabole yn=xman-m, & pour l'Hyperbole xmyn=am+n: il ne faut que prendre la foutangente PT="AP du même côté du point A par rapport au point P, lorfque c'eft une Parabole; & du côté pofé, lorfque c'eft une Hyperbole.

op

FIG. 125.

PROPOSITION XIII

Theorême.

238. SOIT comme dans la définition quatrième, une Parabole AMB de tel degré qu'on voudra, dont la nature eft exprimée par l'equation ynxm anm: foit menée d'un de fes points quelconques B la droite B C qui faffe avec AC l'angle donné ACB, & foit achevé le parallelogramme ACBD. Je dis que le parallelogramme circonfcrit ACBD eft à l'efpace Parabolique ACB MA compris par les droites AC, CB, & par la portion de Parabole AMB; comme m-neft à n. Il faut prouver que A CBD. ACBMA :: mn. n, Ayant fuppofé fur la portion de Parabole AMB l'arc MN infiniment petit, où fi l'on aime mieux, indéfiniment petit, c'est à dire, moindre qu'aucune portion donnée de la Parabole, fi petite qu'elle puiffe être; & mené les droites MP, NQ, paralleles à BC; & MK, NL, paralleles à AC; lefquelles forment par leurs rencontres le petit parallelogramme MRNS: on tirera la tangente MT qui rencontre le diametre AC au point T, par où l'on menera une parallele à CB, qui rencontre les lignes MK, NL, aux points F, G. Cela fait, * Art, 189, on regardera * le petit arc M Ñ comme l'un des petits côtés du Polygone qui compose la portion de Pârabole AM B, & la tangente MT comme le prolonge, ment de ce petit côté; de forte que l'on a deux triangles rectilignes NRM, MPT, qui font semblables c'eft pourquoi NR ou MS. RM: MP, PT ou MF. Et partant le parallelogramme PMRQ eft égal au parallelogramme FMSG; puifque les angles PMR, FMS, font égaux, & que les côtés autour de ces angles font réciproquement proportionnels, Or* MF ou PT=AP ou MK. Donc auffi le parallelogramme FMSG ou fon égal PMRQ=

* Art, 139.

m

n

KMSL. Et comme cela arrive toûjours en quel