AL, feroient paralleles, & la démonstration deviendroit plus facile, car l'on voit tout d'un coup que GD eft égale à PM, & que les triangles rectangles AGD, MPA font femblables; d'où il fuit AG. GD ou PM;; PM. AP. Donc AG× AP-PM,&c.

30. UN diametre AP étant donné avec fon parametre, & la tangente AL qui passe par l'origine A de ce diametre ; trouver autant de differens points que l'on voudra de la parabole, ou (ce qui eft la mème chofe) la décrire par plufieurs points,

PREMIERE MANIERE.

Ayant pris fur le diametre AP prolongé au delà de fon origine A, la partie AG égale à fon parametre, divifé AG en deux parties égales au point D, & mené une ligne droite indéfinie AF perpendiculaire à AG; on décrira d'un point C pris partout où l'on voudra fur DA prolongée indéfiniment du côté de A, comme centre, & du rayon CG, un arc de cercle PF qui cou, pera le diametre AP & fa perpendiculaire AF en deux points P,F. On menera par le point P une parallele MPM à la tangente AL, fur laquelle on prendra de part & d'autre les parties PM, PM, égales chacune à AF. On trouvera de la même maniere autant de couple de points M que l'on voudra; par lefquels on fera paffer une ligne courbe MAM qui fera la parabole qu'on demande.

Car tous les arcs PF paffant par le même point G & ayant leurs centres fur la ligne GA prolongée, s'il eft neceffaire du côté de A, auront pour diametres les lignes GP; & par conféquent la proprieté de ces cercles donnera toûjours AFGA× AP. Mais chaque PM eft* égale à fa correfpondante AF, & de plus parallele

2

*

à la tangente AL qui paffe par l'origine A du diametre AP; elle fera donc ordonnée à ce diametre. C'eft ⋆ Art. 19.& pourquoi la Parabole qu'on demande, doit paffer par 21.

tous les points M, trouvés comme l'on vient d'enfei

gner,

Il est visible qu'on peut fe tromper en traçant les parties de la parabole, qui joignent les points trouvés; mais on voit en même temps que l'erreur ne peut être fenfible, lorfque ces points font fort prés les uns des autres. Ceux qui ont befoin de décrire fouvent des Sections Coniques, préferent ordinairement cette methode, de les décrire par plufieurs points; parce que les machines dont on fe fert pour les décrire par un mouvement continu, étant compofées, font fouvent fautives, & peu exactes dans la pratique,

SECONDE MANIER E.

1

Ayant mené par un point quelconque Z de la tangente AL, une parallele indéfinie LE au diametre AP; on prendra fur cette ligne & fur le diametre AP prolongé au delà de fon origine A, les parties LE, EE, EE, &c. AF, FF, FF, &c. toutes égales entr'elles, & de telle grandeur qu'on voudra. On marquera fur LE, le point M, en forte que L M foit troifiéme proportionnelle au parametre donné du diametre AP, & à la partie AL de la tangente. On tirera enfin des points A,M, les lignes AE, AE, AE &c. MF, MF, MF &c; je dis que les points d'intersection N, N, N &c. de chaque AE, avec la correfpondante MF, feront tous à la parabole qu'on demande.

Car menant par le point marqué M, & par l'un des points trouvez N, les lignes MP, NQ, paralleles à la tangente AL, & nommant AP, x; PM ou AL, y; AQ, u ; Q N, z; les triangles semblables NQA, ALE, & MPF, NQF, donneront ces deux proportions QN (2), QA (u):: AL (y). LE ou AF="/. & MP.

C

FIG. 15.

* Art. 19.&

21.

* Art. 8. &

20.

(y). PF ou PA¬AF (x−+"/2 ) :: NQ(2). QF ou QA+AF (u+~2/2). D'où en multipliant les Extrê

uyy

2

mes & les Moyens, l'on forme l'égalité uy→ =
* uy; & effaçant de part & d'autre uy, & multi-
pliant par, il vient uyy=xzz, qui fe reduit à cette
proportion AP (x). AQ (u) :: MP (yy). NQ (2)
Or par la conftruction, le quarré de AL ou de PM,
est égal au rectangle de la partie AP du diametre don-
né, fon
parametre. Cette ligne PM fera donc * une
ordonnée au diametre AP; & par confequent QN en
fera* une autre. Ainfi le point & fera l'un des points de
la parabole qui tombent d'un côté du diametre AP:
pour les avoir de l'autre, il n'y a qu'à prendre fur les
droites indéfinies LE, AF, les parties égales LE, EE,
&c. AF, FF, &c. de l'autre côté des points L, A.

, par

Si au lieu du parametre du diametre AP que l'on fuppofe ici donné, l'on avoit un des points M de la parabole; ce qui arrive fouvent: il n'y auroit qu'à mener par ce point, une parallele indéfinie LE, au diametre AP, & achever le refte comme cy-deffus.

2

=

(y). PF ou PA¬AF (x++" ) :: NQ(2). QF ou QA+AF (u + 2/2). D'où en multipliant les Extrêmes & les Moyens, l'on forme l'égalité uy➡"99 xz→ uy; & effaçant de part & d'autre uy, & multipliant par, il vient uyy=xzz, qui fe reduit à cette proportion AP (x). AQ (u) :: MP2 (yy). NQ (zz). Or par la conftruction, le quarré de AL ou de PM, eft égal au rectangle de la partie AP du diametre donné par fon parametre. Cette ligne PM fera donc * une ordonnée au diametre AP; & par confequent QN en * Art. 8. & sera * une autre. Ainfi le point N fera l'un des points de la parabole qui tombent d'un côté du diametre AP: pour les avoir de l'autre, il n'y a qu'à prendre fur les droites indéfinies LE, AF, les parties égales LE, E E, &c. AF, FF, &c. de l'autre côté des points L, A.

* Art. 19.&

21.

20.

Si au lieu du parametre du diametre AP que l'on fuppofe ici donné, l'on avoit un des points M de la parabole, ce qui arrive fouvent: il n'y auroit qu'à mener par ce point, une parallele indéfinie LE, au diametre AP, & achever le refte comme cy-deffus.