* Def. 9. ) FIG. 139. S deux Tangentes DH,EK; & que par le Sommet $ COROLLAIRE I. 270. Si par un point d'attouchement D, l'on mene le côté DS prolongé indéfiniment de part & d'autre du Sommet S: il eft vifible que le plan SDH ne peut avoir de commun avec les deux furfaces Coniques oppofées que ce côté, puifque tous les points de la Tan gente DH tombent hors la circonference de la base, excepté le feul point D. Or le plan SD E qui paffe par le Sommet 5 & par la Directrice DE, étant * parallele au plan des Hyperboles oppofées, les communes Séctions SD, CH, de ces deux plans avec le même plan SDH feront paralleles entr'elles; c'est pourquoi l'Afymptote CH tombera toute entiere au dehors & entre les deux furfaces Coniques oppofées, & laiffera par conféquent les Hyperboles oppofees toutes entieres de part & d'autre fans les rencontrer. On prouvera la même chofe de l'autre Afymptote CK.Or comme les deux Afymptotes CH,CK, font formées par les plans SDH, SEK, qui tombent de part & d'autre de la même furface Conique & de fon oppofée, il s'enfuit que tous les points de l'Hyperbole FAG font compris dans l'angle HCK, & que tous les points de fon oppofée tombent dans l'angle qui lui eft opposé au Sommet. PROPOSITION VII Theorême. 271. Si par un point quelconque B d'une Afymptote CK, Pon mene une parallele BA à l'autre Afymptote CH; je dis 1 qu'elle rencontrera l'une des Hyperboles oppofes en un feul point A, & qu'étant prolongée indéfiniment, elle tombera tou te entiere au dedans. Puifque les deux lignes BA, SD, font paralleles à la même ligne CH, elles le feront entr'elles; & ainsi elles fe trouveront dans un même plan, lequel entrera au dedans des deux furfaces Coniques oppofées, puifqu'il paffe par l'un de leurs côtés SD, & qu'il fait un angle avec le plan SDH qui la touche dans ce coté. Le plan des paralleles BA, SD, formera donc dans les deux furfaces Coniques, deux côtés, dont l'un est le côté SD,& l'autre le côté Sa, qui coupera neceffairement la ligne BA en quelque point A, puifqu'il eft fitué dans le plan qui passe par les paralleles SD, AB, & qu'il coupe SD en S. Donc puifque le point A fe trouve en même temps dans l'une des furfaces Coniques & dans le plan des Hyperboles, il appartiendra à l'une de ces Hyperboles. De plus puifque la ligne BA étant prolongée indéfiniment du côté du point A, tombe toute entiere dans le plan DS a renfermé entre les côtez DS, Sa, lorfque le point A appartient à l'Hyperbole FAG, & dans fon oppofé au Sommet ASd lorfqu'il appartient à l'Hyperbole oppofée; il eft vifible qu'elle tombera toute entiere au dedans de l'une des deux furfaces Coniques, & par conféquent auffi au dedans de l'Hyperbole qui en eft la Séction. Ce qu'il falloit démontrer. COROLLAIRE L. 272. DE-LA E-LA on voit qu'entre une Hyperbole FAG & fon Afymptote CH, on ne fçauroit faire paffer aucune ligne parallele à cette Afymptote. Or comme la ligne BA fepare l'Hyperbole qu'elle rencontre en deux portions indéfinies, dont l'une tombe neceffairement toute entiere dans l'efpace compris entre les paralleles BA, CH; il s'enfuit que plus CB deviendra petite, plus le point A avancera dans cette portion, & cela toûjours de plus en plus jufqu'à ce que CB devienne plus petite qu'aucune grandeur donnée. C'est à dire, qu'une Hyperbole & fon Afymptote étant l'une & l'autre continuée indéfiniment, elles s'approcheront toû jours de plus en plus, en forte que leur distance deviendra enfin moindre qu'aucune donnée, fans pouvoir *Art. 270. neanmoins jamais fe rencontrer. FIG. 140. * Hyp. PROPOSITION VIIL Problême. 273. LES Afymptotes CH, CK, d'une Hyperbole FAG étant données avec un de fes points quelconques F, décrire l'Hyperbole, Ayant mené par le point donné F, une ligne droite quelconque HK terminée par les afymptotes, on fera paffer par cette ligne un plan quelconque autre que le plan HCK, dans lequel on tirera par le point de milieu P de HK une perpendiculaire indéfinie MN à cette ligne; & on décrira d'un de fes points quelconques O comme centre, & du rayon OF, un cercle FM N. On menera des points H, K, deux Tangentes HD, KE, à ce cercle; & par les points d'attouchemens D, E, deux paralleles DS, ES, aux Afymptotes CH, CK, lefquelles fe rencontreront en un point S; duquel comme Sommet, on décrira une furface Conique qui ait pour base le cercle F M N. Je dis que cette furface Conique formera par fa rencontre avec le plan HCK, l'Hyperbole requife FAG. Il eft clair par la proprieté du cercle FMN; 1°. Que la corde F G eft divifée par le milieu au point P, par le diametre MN qui lui eft * perpendiculaire; & partant, puifque par la construction PHPK, il s'enfuit que FH=GK,GHFK; & par conféquent GH× H F =FK× KG. 2°. Que G HxH FHD, & FK × KG =KE', & qu'ainfi HD-KE. 3°. Que fi l'on prolon ge-les Tangentes HD, KE, jusqu'à ce qu'elles fe ren 2 2 |