2

COROLLAIRE IV.

35. LES Es mêmes choses étant pofées, fi l'on nomme CA ou BF, t; CF, m; le triangle réctangle BCF, donnera BC-tt-mm. Or AF-t-m, & Fat→m, & partant A F× Fa=tt-mm. D'où il eft évident que le quarré de la moitié C B du petit axe Bb, est égal au rectangle de AF par Fa parties du grand axe Aa, prifes entre l'un des foyers F, & fes deux extremités À, a, COROLLAIRE V.

36. Il fera facile à prefent de décrire une Ellipfe dont * Art. 34. les deux axes Aa, Bb, font donnez. Car ayant trouvé * fur le premier ou grand axe Aa, les foyers F, f, on attachera dans ces points, les extremités d'un fil FMf, dont la longueur égalera celle de cet axe; & ayant décrit par le moyen de ce fil, une Ellipfe comme l'on a enfeigné dans la définition premiere, il eft évident qu'elle fera celle qu'on demande.

FIG. 16.

PROPOSITION I

Theorême.

37. Si l'on mene l'ordonnée MP au premier ou grand axe Aa, & qu'on prenne fur cet axe la partie AD égale à MF, Je dis que CA. CF: CP. CD,

Ayant nommé, comme auparavant, les données CA, t; CF, m; & de plus les indéterminées CP, x; PM, y3 & l'inconnue CD, 3 il peut arriver deux differens cas,

Premier cas. Lorfque le point P tombe au deffus du centre C. Comme PF eft toûjours moindre que Pf; il s'enfuit que MF ou AD fera moindre que Mf ou a Di c'est pourquoi AD ou MF=t-2, a D ou Mf=t ➡z, FP=m➡x ou x-m ( felon que le point P tom, be au deffous ou au deffus du foyer F), Pf=x+m, Or les triangles rectangles MPF, MPƒ, donnent ##

2tzzz=yy→mm→2m x → xx, & tt → 28z+ zz=yy→mm + 2 mx + xx. Donc fi l'on retranche par ordre chaque membre de la premiere égalité de ceux de la feconde, on aura 4t=4mx; d'où l'on tire CD (z) ==.

mx

Second cas. Lorfque le point P tombe au deffous du centre C, comme PF est toujours plus grande que Pf, il s'enfuit que MF ou AD, fera plus grande que Mf ou a D: c'est pourquoi AD ou MFt+z, a D ou Mf=t-z,PFx→➡m, Pf=x+moum-x ( selon que le point P tombe au deffous ou au deffus du foyer f). Or les triangles réctangles MPF, MPf, donnent tt2tz―zz=yy→ mm → 2m x →+xx, & #1-212 +22=yy→mm−2m xxx. Donc fi l'on retranche par ordre chaque membre de la feconde égalité de ceux de la premiere, on aura 4 z=4mx ; d'où l'on tire encore CD (). Par conféquent en l'un & l'autre cas, on aura CA (t). CF(m) :: CP (x). CD (2). Ce qu'il falloit démontrer.

mx

COROLLAIRE

mx

t

38. IL eft donc évident que fi l'on nomme les données CA ou Ca, t; CF ou Cf, m; & l'indéterminée CP, x; on aura toûjours MFt ,&Mf=t➡, lorf que le point P tombe au deffus du centre C: & qu'aucontraire on aura MF=t";,&Mf=t—TM*, lorsqu'il tombe au deffous.

LE

PROPOSITION II.

E

Theorême.

39. Le quarré d'une ordonnée quelconque MP à l'axe Aa, eft au rectangle de AP par Pa, parties de cet axe, comme le quarré de fon conjugué Bb, eft au quarré de l'axe Áa.

FIG, 18.

mx

Il faut prouver que PM'. AP× Pa :: Bb. Aa'.

*

Les mêmes chofes étant pofées que dans l'article précedent, fi l'on met dans l'égalité it ± 2 t z➡+zz=yy +mm+2mx+xx que l'on a trouvée par le moyen du triangle rectangle MPF, à la place de z fa valeur on formera toûjours celle-ci ttyy t-ttxxmmtt-mmxx, laquelle étant réduite à une proportion, donne PM (yy). AP× Pa (tt-xx) :: BC (tt—mm). CÃ3 (tt) :: Bb', Aa'. Ce qu'il fal. &c. COROLLAIRE I.

I

--2

40. Si l'on mene une ordonnée MK à l'autre axe Bb, lequel j'appelle 2 c, il est clair que MK=CP (x), & que CK PM (y). Or * PM2 (yy). AP× Pa (tt-xx):: Bb' (4cc). Äa (4tt). Et partant 4ce xx=4cctt-4ttyy; ce qui donne cette proportion MK2 (××). BK×Kb (cc—yy) :: Aa2 (4tt), Bb2 (400).

2

C'est à dire que le quarré d'une ordonnée quelcon que MK à l'axe Bb, eft au rectangle de BK par Kb parties de cet axe, comme le quarré de fon conjugué Aa, eft au quarré de l'axe Bb.

COROLLAIRE FONDAMENTAL.

I

41. Si l'on nomme l'un ou l'autre axe Aa,ît; son 19. conjugué Bb, 2c; fon parametre p; chacune de fes ordonnées PM, y; chacune de fes parties CP prifes entre le centre & les rencontres des ordonnées, x; on * Art. 39. aura* toûjours PM (yy), AP×Pa (tt-xx)

xx):: Bb

(4cc). Aa (4tt) :: p. Aa (2t). Puifque felon la défi nition du Parametre, Aa (2t). Bb (2c):: Bb (2c). p=4. D'où en multipliant d'abord les extrêmes & les moyens de la proportion yy. tt-xx:: 4 cc. 4tt, &

4CC

21

enfuite

tt

enfuite de l'autre yy. tt-xx:: p. 2t. L'on tire yy = cc... &yy=pt. Or comme cette proprieté convient également à tous les points de l'Ellipfe, & qu'elle en détermine la pofition par rapport aux deux axes conjugués Aa, Bb; il s'enfuit que l'équation y y ou y y = pt-xx, exprime parfaitement

=CC

tt

la nature de l'Ellipfe par rapport à ses axes.

COROLLAIRE III.

42. Si l'on mene deux ordonnées quelconques MP, No, à l'axe Aa; leurs quarrés feront entr'eux comme les rectangles AP× Pa, AQxQa, des parties de cet axe, faites par la rencontre de ces mêmes ordonnées; car* Bb. Aa :: PM. AP×Pa :: QN. AQxQa. Et * Art. 39. partant PM. QN:: AP× Pa. AQ×Qa.

COROLLAIRE IV.

43. Si l'on mene par un point quelconque P de l'un des axes conjugués Aa, une parallele MM à l'autre axe Bb; elle rencontrera l'Ellipfe en deux points M, M, également éloignés de part & d'autre du point P, & non en davantage. Čar afin que les points M, M, foient à l'Ellipfe, il faut que les quarrés de PM (y) prife de part * Art. 41. & d'autre de l'axe Aa, foient égaux chacun à la même

quantité ce

*

COROLLAIRE V.

44. Il fuit de ce que * yy=cc—

L

ccxx
tt

, que plus CP * Art41. (x) prise de part & d'autre du centre C augmente, plus chaque ordonnée PM (y) prife de part & d'autre de l'un ou de l'autre axe Aa, diminuë; de forte que CP (x) étant égale à CA ou Ca (t), chaque PM (y) devient alors nulle ou zero: & qu'au contraire plus CP (x) devient petite, plus auffi chaque ordonnée PM (y) prife

D

* Art. 41.

de part & d'autre de l'axe Aa augmente; de forte que CP (x) devenant zero, chaque PM (y), qui eft alors CB ou Cb (c), fera la plus grande des ordonnées. D'où il eft clair.

1o. Que fi l'on mene par les extremités B,b, de l'un des axes conjugués, des paralleles à l'autre, elles feront tangentes en ces points.

2°. Que l'Ellipfe s'éloigne de part & d'autre de plus en plus de l'un ou de l'autre axe Aa, en commençant par l'extremité A, jufqu'à ce qu'elle rencontre fon conjuguć Bb; aprés quoi elle va toujours en s'approchant du même axe Aa, jufqu'à ce qu'elle le rencontre en fon autre

extremité a.

COROLLAIRE VI.

G

45. IL fuit encore de ce que* yy=cc , que tt l'on prend les points P, P, également éloignés de part & d'autre du centre C; les ordonnées PM, PM, feront égales. D'où il est évident que fi une ligne quelconque MM, terminée par l'Ellipfe, eft coupée en deux également par l'un des axes conjugués Bb en un point K autre que le centre; elle fera parallele à l'autre Aa. Car menant les paralleles MP, MP, à l'axe Bb, la ligne PP fera divifée par le milieu en C, puifque MM l'eft en K; & partant les ordonnées PM, PM feront égales. La droite MM fera donc parallele à l'axe Aa.

I

COROLLAIRE VII.

46. Si l'on conçoit que le plan fur lequel l'Ellipse eft tracée, foit plié le long d'un des axes Bb, en forte que fes deux parties fe joignent; il eft clair que les deux demi-Ellipfes BAb,Bab, tomberont exactement l'une fur l'autre, fçavoir, les points A, M, &c. fur a, M, &c. puif*Art. 45. que* toutes les perpendiculaires Aa, MM, &c. à cet axe, font coupées par le milieu aux points C, K, &c. D'où il eft vifible que l'Ellipfe eft coupée par les deux axes en qua