confiderer comme étant multiplié par zero; d'où je

tire no: & partant me. 2° +

eep 2mmt

= 1; c'est à dire, = en mettant pour n & m leurs valeurs

2t

28

l'incon

• &e: & partant p=2t. 3°. r=o; parce que nuë y ne fe trouvant point au premier degré dans l'équation donnée, on la doit auffi confiderer comme étant multipliée par zero: c'est pourquoi effaçant dans la formule * Art. 322. génerale * tous les termes où &r se rencontrent, & mettant pour e & 1⁄2 leurs valeurs m & 1, elle se changera en celle-ci yy-xx-2sx-tt-ss=0, dont il refte à comparer les termes avec ceux de la propofée. 4°. 25=a; & partant s= } a. 5o. ss-tto; puifqu'il n'y a point de termes entierement connus dans l'équation donnée:& partant ttssaa ; & en extrayant de part & d'autre la racine quarrée, t=a. Or ces valeurs étant ainsi déterminées, je conftruis le lieu en cette forte.

FIG. 174.

a

Puifque BE (n)o, il s'enfuit que AE tombe fur AP, laquelle tombe auffi fur DG, puifqu'on a encore AD(r)=0; de forte que le point. D tombe en A. C'eft pourquoi prenant fur AP, la partie AC (s) du côté de PM; & de part & d'autre du point C, les parties CK, CL, égales chacune à ta (le point Z * Art, 161. tombe ici fur le point A); on décrira * du diametre AK qui ait pour ordonnées des droites paralleles à PM, & pour parametre la ligne KH (p)=2ta, une Ellipfe qui fera le lieu cherché.

Car ayant mené d'un de fes points quelconques Mla droite MP qui faffe avec AP l'angle donné ou pris à *Art. 55.& volonté APM, on aura * AK(a) KH(a):: AP×PK (ax-xx).PM ̊ (yy). Ce qui donne yy➡xx-ax―o. Il eft évident que fi l'angle APM eft droit, l'Ellipfe devient alors un cercle qui a pour diametre la ligne

41.

AK-a.

2

REMARQ

REMARQUE.

329. IL peut arriver deux differens cas, où le lieu de l'équation donnée est un cercle.

Premier cas. Lorfque les quarrés yy & xx fe trouvent tous deux avec les mêmes fignes & fans fraction dans une équation, où le plan xy se trouve auffi; & que de plus l'angle AEB eft droit (ce qui arrive lorf qu'ayant mené AF perpendiculaire fur PM la raison de PF à AP, qui eft la même que celle de BE à AB eft exprimée par la moitié de la fraction qui multiplic le plan xy): le lieu de cette équation fera toujours un cercle comme l'on a déja vû dans l'article 324, & la raison en est évidente par la formule générale. Car l'on aura par la comparaifon des termes correfpondans où se trouve le quarré xx, cette égalité + d'où l'on tire L

21

mm-nn
ee

eep

2mmt

=1, puifque à cause du trian

gle rectangle A E B le quarré m m=nn➡ee. Or l'angle AEB étant droit, l'angle CGM que fait le diametre LK avec fes ordonnées fera auffi droit; & par conféquent puifque le diametre L K eft égal à fon parametre KH, il s'enfuit que l'Ellipfe devient alors un cercle,

Second cas. Lorfque les quarrés yy & xx fe trouvent tous deux avec les mêmes fignes & fans fraction dans une équation, où le plan xy ne fe rencontre pas, & que de plus l'angle APM eft droit: fon lieu fera toujours un cercle, comme l'on vient de voir dans l'article 318; & cela fe prouve par le moyen de la formule générale. Car puifque le plan xy né le trouve point dans l'équation donnée, la fraction de la formule fera nulle ou zero; & partant BE (n) = o, & me. d'où l'on voit. 1°. Que le diametre LK eft parallele à la ligne AP, & qu'ainfi l'angle CGM qu'il fait avec les ordonnées étant égal à l'angle APM fera

Gg

quarré xx dans la formule devient, & qu'ains on

aura

1: c'eft à dire que le diametre LK fera égal à fon parametre KH. L'Ellipfe qui eft le lieu de l'équation donnée fera donc alors un cercle. Or comme alors la formule générale fe change en celle-ci yy-xx-zry—2sx―rr=0,

on pourra, fi l'on veut abreger le calcul, en fe fervant d'abord de cette formule, pour trouver par la comparaifon de fes termes avec ceux de la propofée, les valeurs de r, §, t, qui fervent à décrire le cercle qui en eft le lieu.

LEMME FONDAMENTA L.

Pour la conftruction des lieux à l'Hyperbole par rapport à fes diametres.

E

330. Les mêmes choses étant posées que dans le Lemme précédent pour l'Ellipfe, on décrira* du diametre LK (2t) qui ait pour parametre KH (p), & pour ordonnées des droites paralleles à PM, une Hyperbole ou deux Hyperboles oppofées. Je dis que fa portion OM, ou leurs portions renfermées dans l'angle PAD fait par la ligne AP & par une ligne AD menée par le point fixe A parallelement à PM & du même côté, fera le lieu de cette équation ou formule.

ท

yy-2xy + xx − 2ry + 2x+rr=o.

mm

dans laquelle on doit observer qu'il y a→ *** lorsque

le diametre Z K eft un premier diametre, & - #lorfque c'est un second.

Car ayant mené d'un de fes points quelconques M la ligne MP, qui faffe avec AP l'angle donné ou pris à volonté APM, & qui rencontre les paralleles AE, DG, aux points F, G, on aura par la proprieté de l'Hyperbole * KZ (2t). KH (p):: CGCK'

sexx

Lesx Art.81.&

M 118.

28

2t

=wxy

-2ry-+ xx-t x-rr. Donc &c.

mm

S'il arrive que le diametre KL (2t) & son parametre KH (p) foient égaux entr'eux, l'Hyperbole fera équilatere.

COROLLA TRÈ.

331. It eft clair, 1°. Que les deux quarrés yy & xx fe trouvent toûjours avec differens fignes dans cette formule, lorfque le plan xy ne s'y rencontre point; ou bien lorsqu'il s'y trouve, & que •eep furpaffe 2°. Qu'ils s'y peuvent trouver avec les mêmes fignes', mais avec ces conditions que le plan xỳ s'y rencontre, & que le quarré de la moitié de la fraction qui le

nn

mm

2mmt

mm

qui

332. CONSTRUIRE le lien d'une équation donnée, dans laquelle, ou les deux quarrés yy & xx fe rencontrent avec differens fignes, ou bien avec les mêmes fignes, mais avec ces deux conditions que le plan xy s'y trouve, & que le quarré de la moitié de la fraction qui le multiplie foit plus grand

178.

que la fraction qui multiplie le quarré xx. On fuppofe encore ici que le quarré y y foit délivré de fractions.

On conftruit l'Hyperbole qui en eft le lieu, comme l'on vient de faire l'Éllipfe dans le Problême précédent. Les Exemples qui fuivent le feront voir.

EXEMPLE I.

a

333. SOIT yy→ 25xy xx→2cp-28x-bb =o, l'équation dont il faut conftruire le lieu, & dans laquelle on fuppofe que le quarré furpaffe

bb

Je compare les termes de cette équation avec ceux qui leur répondent dans la formule du Lemme; & j'ai

1o.

223

26

=-, & partant fi l'on fait m=a, on aura

-, donc

28

3°. r=— c.

4.

bb, & =-28, d'où

26b2afs

1=
en mettant pour m, n, 7,

de trouver, on tire s

-bce-age

bb-af

fçavoir+lorfque le quarré ss fur

&-tt lorfqu'il eft moindre, parce que le quarré tt doit être pofitif; ce qui fait deux differens cas. Or les valeurs de m, n, r, s, t,p, étant ainfi déterminées, je conftruis le lieu en me réglant fur la conftruction du Lemme, de la manière qui fuit.

Ayant pris fur AP, la partie A B=a, & mené pa FIG. 177 rallelement à PM & du côté oppofé les droites BF b n, AD=c=-1, je tire par les points A, E, la droite AE (e) qui eft donnée, & par le point D la droite indéfinie DG parallele à AE fur laquelle je eag-tobe prends la partie DC= =-s du côté oppofé bb-af à PM, & de part & d'autre du point C les parties