23.

*Art.22.& les reftes C MK, TMP, feront égaux. Donc TP* (1x). PM (y): CK (b−y). KM(ax), d'où l'on forme en multipliant les extrêmes & les moyens cette équa tion yy-by-2xx+2ax=0; dont le lieu qui eft *Art. 322. celui qu'on demande eft * une Ellipfe que l'on conftruit en cette forte.

* Art. 324.

Ayant mené AD=46 perpendiculaire à AP & du côté de PM, & tiré la droite indéfinie DL parallele à AP, on prendra fur cette ligne la partie DE a du côté oppofé à PM; & de part & d'autre du point E les parties EF, EG égales chacune à Vaa+bb. Enfuite de l'axe FG qui ait pour parametre une ligne G H double de FG, on décrira une Ellipfe. Je dis que fa portion AMO renfermée dans l'angle PAD eft le lieu de l'équation précedente; & par confequent de tous les points cherchés M, lorfqu'ils tombent dans cet angle.

Car prolongeant PM, s'il eft neceffaire, jufqu'à ce qu'elle rencontre l'axe FG en L, on aura l'ordonnée ML=} b−y, & EL=}a+x, & par b. la proprieté de l'Ellipfe, FL- LG ou EF-EL ( b b − a x − x x ). IM (bb-byyy) :: FG. GH :: 1. 2; ce qui donne en multipliant les extrêmes & les moyens bb-zax - 2 x x = - bb-by-yy. Donc &c.

Si l'on fuppofe à prefent que les points M tombent dans les angles BAD, BAR, on trouvera toûjours la même équation que ci-deffus, tant par la condition du Problême que par la proprieté de l'Ellipfe; en obfervant de faire AP=-x, & PM-y, lorfque le point P tombe de l'autre côté de l'origine A, & PM, de l'autre côté de la ligne AP. D'où il fuit que les portions de l'Ellipfe, que l'on vient de décrire, renfermées dans ces angles font le lieu de ces points.

On doit remarquer qu'il eft impoffible qu'aucun des points cherchés M, tombe dans l'angle PAR, oppofé au fommet à l'angle BAD dans lequel eft fitué le point donné C, d'où doivent partir toutes les perpendiculaires aux Paraboles. Car fi d'un point quelconque pris

dans cet angle PAR, on mene des droites comme MP, MT, perpendiculaires fur AP & CM, il eft vifible les points P, T, tomberont du même côté du point A, & par consequent que cette ligne MT ne pourra être tangente en M comme le demande la question.

que

Si l'on fuppofe que AP(x) devienne nulle ou zero, l'équation précedente yy-by-+2xx+ax=0 se changera en celle-ci yy-byo, dont les deux racines font yo, &y=b; ce qui fait voir qu'en tirant AO parallele & égale à BC, le lieu des points cherchés M paffera par les deux points A,0. On prouvera de même en fuppofant que le point P tombe de l'autre côté de l'origine A, & faifant AP(-x)=AB(a), que ce même lieu paffera par les points B, C; de forte que l'Ellipfe doit être décrite autour du rectangle ABCO. Ceci donne lieu à une nouvelle construction que voici.

Soit formé le rectangle ABCO, & foit décrite * au- * Art. 176. tour de ce rectangle une Ellipfe, dont l'axe FG parallele aux côtés AB, OC, foit à fon parametre GH, com me 1 est à 2. Il est évident qu'elle fera le lieu cherché.

REMARQUE. I.

353. Ši la nature des lignes courbes telles que AM étoit exprimée par l'équation generale y”—xa" (les lettres m, n, marquent les expofans des puiffances de y &x tels qu'ils puiffent être) qui renferme * non feulé- *Art. 2 ju ment la Parabole ordinaire, mais encore celles de tous

les degrés à l'infini, on auroit T P* (x). PM (y) :: * Art. 237. CK (b−y). KM (ax): ce qui donne j' y—by→ xx

m

+ a x―o, dont le lieu qui eft celui qu'on cherche, eft une Ellipfe que l'on conftruira felon l'article 322. Ou bien felon l'article 176. fi l'on observe que cette Ellipse doit paffer autour du rectangle donné ABCO, & que fon axe FG parallele aux côtés AB, OC, doit être

FIG. 191.

FIG. 192.

à son parametre G H en la raison donnée de m à n.

REMARQUE II

354. Si le centre E de l'Ellipfe qu'on vient de décrire tomboit fur l'origine A de l'axe commun AP de toutes les Paraboles AM; & l'axe F G de l'Ellipfe fur l'axe AP des Paraboles: cette Ellipfe couperoit toutes ces differentes Paraboles à angles droits. On peut énoncer ce Theorême de la maniere qui fuit.

Soient une infinité de Paraboles comme AM de tel degré qu'on voudra, qui ayent toutes pour axe commun la même ligne AP, dont l'origine eft toûjours au même point ; & foit une Ellipfe qui ait pour centre le point A, & dont l'axe FG fitué fur AP foit à fon parametre comme le nombre m expofant de la puiffance de AP(x) eft au nombre n expofant de la puiffance de PM (y), dans l'équation generale y"x"a" qui exprime la nature des Paraboles AM. Je dis que cette Ellipfe coupera toutes ces Paraboles à angles droits.

m

Par le point M, où elle coupe telle de ces Paraboles qu'on voudra, ayant mené la tangente MT à cette Parabole, & MS perpendiculaire à cette tangente; il eft que. stion de prouver que MS touche l'Ellipfe au point M. Pour en venir à bout, on tirera la perpendiculaire MP fur l'axe, & ayant nommé les indéterminées AP, x; PM,y; & la donnée FG, 2t; on aura par la proprieté de l'Éllipse FPxPG(tt-xx). PM (yy) :: m, n, & partant myyntt―nxx. Or à cause des angles droits TPM, * Art. 237. TMS, il vient TP* (*), PM (y):: PM (y), PS, & parconfequent AS ou AP→PS—nxx+myyj

nx

== en mettant pour myy la valeur que l'on vient de

trouver nit-nxx. D'où l'on voit que AP. AF:: AF. AS,

* Art. 57. & qu'ainfi* la ligne MS touche l'Ellipfe au point M. Ce qu'il falloit &c.

EXEMPLE II. '

355. SOIENT imaginées une infinité d'Hyperboles FIG. 19 qui ayent toutes pour Afymptotes communes les mêmes droites AP, 40, données de pofition, qui font entr'elles un angle droit PAO; & foient conceuës partir d'un point donné C une infinité de perpendiculaires comme CM à ces Hyperboles. On demande le lieu de tous les points M, où chacune des droites CM rencontre l'Hyperbole à laquelle elle eft perpendiculaire.

Ayant tiré les mêmes lignes que dans l'exemple pré cedent, & les ayant nommées par les mêmes lettres,

on arrivera de même à cette proportion TP* (x). * Art. 107. PM (y): CK (b−y). KM (a—x); ce qui donne cette équation yy-by-xxaxo, dont voici lieu.

le * Art. 330%

Ayant pris fur l'Afymptote 40 parallele à PM, la partie AD6, & mené DL parallele à AP; on prendra fur cette ligne la partie DE—a du côté de PM, & de part & d'autre du point E, les parties EF, EG, égales chacune à Vaabb ou V-bb —ża a se Ion que a eft plus grand ou moindre que 6. On décri ra enfuite de la ligne FG, comme premier axe dans le premier cas, & comme fecond dans le deuxième, deux Hyperboles oppofées équilateres. Je dis que leurs portions renfermées dans l'angle PÃO, feront le lieu de cette équation, & par confequent celui de tous les points

cherchés M.

on 335

*

Car prolongeant PM (s'il eft neceffaire) jufqu'à ce qu'elle rencontre l'axe FG, en Z, on aura l'ordonnée ML=by, & la partie EL=x-a; &* par la Art. 127. proprieté des Hyperboles équilateres ELEF (xx-ax→ ;bb) = LM (bb—byyy). Donc &c.

2

2

Si ab, la conftruction précedente n'a plus de lieu, car la valeur du demi axe EF ou EG devient nulle. Et comme l'équation précedente devient celle-ci yy-ay ➡xx➡ax=0, ou yy-ay-aa=xx−ax➡+ aa

de laquelle extrayant de part & d'autre la racine quarrée, il vient y-axa ou y=x, & \a-y=x — a ou y = à—x; il s'enfuit que fi l'on acheve le recFIG. 194. tangle ABCO, & qu'on tire les deux diagonales AC, BO: elles feront le lieu de tous les points cherchés M. Car la diagonale AC eft le lieu de la premiere équation y=x, & l'autre diagonale BO eft le lieu de la deuxićmeya-x,

REMARQUE I,

356. Si la nature des lignes courbes qui ont pour Afymptotes les droites AB, AO, étoit exprimée par FIG. 193. l'équation generale "y"a" qui renferme * les Hy* Art. 229. perboles de tous les degrés à l'infini, on auroit TP* * Art. 287, ( —x ). PM (y) ;; CK (b−y). KM (a−x); ce qui

donne yy → by — — xx➡axo, dont le lieu se con* Art. 330. ftruit * ainsi.

4n

Ayant trouvé le point E comme dans l'exemple, on prendra fur DZ de part & d'autre du point E, les parties EF, EG, égales chacune à Vaa - #bb oụ Vbb-aa; felon que naa eft plus grand ou moindre que mbb. Enfuite de la ligne FG comme premier axe dans le premier cas, & comme fecond dans le deuxième, qui foit à fon parametre en la raifon donnée de mà n, on décrira deux Hyperboles oppofées : leurs portions renfermées dans l'angle OAB feront le lieu qu'on cherche.

Si a, b :; vm, vn, l'équation yy-by-xx→

se change en celle-ci yy—ayV

FIG. 194.

n

ax=

xx→/ax=

nas de laquel

ax-t

m

4m

le extrayant de part & d'autre la racine quarrée, il

vient