tre portions parfaitement égales & uniformes, qui ne PROPOSITION III. 47. Si l'on mene par l'une des extremités A de l'un des F10, 20. axes Aa, une ligne droite quelconque AM dans l'un des angles aAL, aAL,faits par cet axe, & par la ligne LAL parallele à fon conjugué Bb; je dis qu'elle rencontrera l'Ellipfe en un autre point M. Ayant pris fur AL de part ou d'autre du point A, la partie AG égale au parametre p de l'axe Aa, & tiré GF parallele à cet axe, & qui rencontre la ligne A M (prolongée, s'il eft neceffaire) au point F, ou prendra fur la ligne AL du même côté où tombe la ligne AM par rapport à l'axe Aa, la partie AL égale à GF, & ayant tiré par l'autre extremité a de l'axe Aa la droite aL; je dis que le point M où elle coupe la ligne AM, eft à l'Ellipfe MAM. ay P Car menant MP parallele à AL, & nommant les connuës Aa, it; AG, p; GF ou AL, a; & les inconnuës CP, x; PM,y; les triangles femblables AGF, MPA, & LAa, MPa, donneront AG(p) GF (a) :: MP (y). AP (t±x)=2. Et AL (a). Aa (2t) :: PM (y), aP (x)=. Et par confequent on aura toûjours AP×Pa (tt―xx)=2, foit que le point P tombe au deffus ou au deffous du centre C; d'où l'on tire yy= pt. La ligne PM fera donc * une ordonnée à l'axe ⋆ Art. 41. Aa; & partant le point M sera à l'Ellipse MAM. Ce qu'il falloit démontrer. COROLLAIRE I. 48. DE-LA on voit comment un axe Aa d'une Ellipfe MAM étant donné avec fon parametre p, & .. FIG. 20. * Art. 45. par l'une des extremités A de cet axe, une ayant mené ligne droite quelconque A M dans l'un ou l'autre des angles a AL, a AL, faits par cet axe, & par la ligne LAL parallele à fon conjugué Bb; on voit, dis-je, ce qu'il faut faire pour trouver fur cette ligne le point M où elle rencontre l'Ellipfe MAM. L COROLLAIRE II. 49. Il est évident qu'il n'y a que la ligne LAL parallele à l'axe Bb, qui puiffe être tangente de l'Ellipfe MAM au point A, l'une des extremités de fon conjugué Aa; puisqu'il n'y a que cette feule ligne, qui paffant par le point A, & étant continuée de part & d'aune la rencontre en aucun point, & n'entre pas de tre, dans. 50. Tous les diametres comme MCm, font coupés en deux également par le centre C, & ils ne rencontrent l'Ellipfe qu'en deux points M, m. Ayant mené l'ordonnée MP, & pris Cp égale à CP, fi l'on mene la perpendiculaire pm terminée en m parla droite MCm; il eft évident que les triangles CPM, Cpm font femblables & égaux, & qu'ainfi CM eft égale à Cm, & PM à pm. Or comme * les ordonnées qui font également éloignées de part & d'autre du centre C, font égales entr'elles, & que PM est une ordonnée, il s'enfuit que pm fera auffi une ordonnée; & par confequent que le point m eft à l'Ellipfe. De plus il eft vifible que fi l'on imagine une parallele à l'axe Bb, qui fe meuve de C vers A; la partie de cette parallele renfermée dans l'angle ACM, ira toûjours en augmentant à mesure que CP croît, & qu'au contraire la partie de cette parallele renfermée entre le quart d'Ellipfe AMB & l'axe CA, c'eft à dire, l'ordon que née PM* ira toûjours en diminuant; d'où il fuit DEFINITIONS. II. * Art. 44. Si l'on mene par un point quelconque M de l'Ellipfe, FIG. 21. 22. un diametre MCm, une ordonnée MP à l'un ou l'autre axe Aa, & une ligne droite MT, en forte que CT foit troifiéme proportionnelle à CP, CA; le diametre SCS parallele à MT, eft appellé Diametre conjugué au diametre Mm; Et réciproquement le diametre M m eft dit conjugué au diametre Ss: de forte que les deux enfemble font appellés Diametres conjugués. 12. Toutes les lignes droites menées des points de l'Ellip fe parallelement à l'un de ces deux diametres, & terminées par l'autre, font appellées Ordonnées à cet autre. Ainfi NO parallele au diametre Ss, eft Ordonnée à son conjugué Mm. 13. La troifiéme proportionnelle à deux diametres conjugués, eft appellée Parametre du premier de la proportion. Ainfi la troifiéme proportionnelle à Mm, Ss, eft appellée Parametre du diametre Mm. COROLLAIRE. 51. Si l'on nomme la donnée CA, t; & les indéter minées CP, x; PT, s; il est clair, felon la définition 11 que CT (x➡s)=#; & qu'ainfi sx=tt-xx=AP×Pa. PROPOSITION Theorême. 52. Si l'on mene par les extremités M, S, de deux diametres conjugués Mm, Ss, deux ordonnées MP, SK, à un axe Aa: je dis que la partie CK de cet axe, CK de cet axe, prise entre le centre & la rencontre de l'une des ordonnées SK, eft moyenne proportionnelle entre les deux parties AP, Pa, faites par la rencontre de l'autre ordonnée MP. 2 Il faut prouver que CKAP× Pa. Ayant nommé les connuës CA, t; CP, x; PT, s;& Art. st. l'inconnuë CK, m; on aura AP× Patt—xx=* s.X.g & AKx Katt-mm=sxxx-mm en mettant *Art.42. Ellipfe * 2 pour tt fa valeur xxsx. Cela pofé, la proprieté de * donnera AP×Pa(sx). AK×Ka (sx−+xx−mm):: PM. KS :: TP (ss). CK3 (mm). à caufe des triangles femblables TPM, CKS. D'où l'on tire en multipliant les extrêmes & les moyens, & en transposant à l'ordinaire, CK (mm)= 2 qu'il falloit démontrer. =sx=APx Pa. Ce COROLLAIRE. -2 53. PUISQUE CK=tt—xx, il s'enfuit que CA -- * Art, 41, CK ou AK× Ka=xx. Or* CA (tt). CB (cc) :: AK*Ka (xx).SK ̊. Et CA (tt). CB ̊ (cc) :: 2 tt APxPa (tt-xx). PM➡cc- -xx. De plus à caufe des triangles rectangles CPM,CKS,on aura le quarré CM' ou ---2 KS tt-xx- cxx, Donc CMCS =tt→cc. tt C'est à dire que la fomme des quarrés de deux diametres conjugués quelconques Mm, Ss, eft égale à la fomme des quarrés des deux axes Aa, Bb. PROPOSITION VI. E Theorême. 54. Le quarré d'une ordonnée quelconque ON au diametre Mm, eft au rectangle de MOxOm fait des parties de ce diametres comme le quarré de fon conjugué Ss, eft au quarré du même diametre Mm. Il faut prouver que ŌN'. MO×Om:: 5s'. Mm2. Ayant mené les paralleles NQ, OH, à l'axe Bb, & la parallele OR à fon conjugué Aa, qui rencontre au point R l'ordonnée NO prolongée, s'il eft neceffaire; on nommera les données CP, x; PM, y; CA, t; PT, s; & les indéterminées HQ ou OR, a; CH, b; & on aura à cause des triangles femblables CPM, CHO, & MPT, NRO, ces deux proportions CP ( x ). PM (y) :: CH (b). HO ou RQ=2. Et TP (s). PM (y) :: OR (a). RN. Cela pofé. by Puifque (fig. 21.) NQ est toûjours la difference de RQ (~), RN (~), & CQ la fomme de CH (b), HQ (a), lorfque le point N tombe entre les points M, S, oum, s;& qu'au contraire (fig. 22.) NQest toû jours la fomme de RQ, RN, & CQ la difference de CH, HQ, lorfque le point N tombe par tout ailleurs: 2 bbyy 2abyy aayy aura ÑQ= + +^^!?, & CQ = aa on 2ab+bb; fçavoir & au contraire xx 2abyy &+2ab dans le premier cas, 2abyy &-2ab dans le fecond cas. Or* *Art. 42. 2 AP×Pa(tt—xx),AQ×Qa ou CA —CQ (tt—aa±2ab—bb) ttyy aayy zabyybby En compa 2 PM (yy). QN = rant enfemble ces deux valeurs du quarré de NQ. on formera l'égalité bbyy zabyyyy 38 #tyy—sary zabyy—bbyy, dans laquelle effaçant d'une part le |