* Art. 58.

Ayant mené par l'une des extremités A du diametre Aa, une parallele DE à fon conjugué Bb, on tirera AO perpendiculaire à DE & égale à CB. Ayant joint O C, on menera par fon point de milieu F la ligne FG qui la cou pe à angles droits, & qui rencontre au point G la ligne DE, fur laquelle on prendra de part & d'autre du point, G les parties GD, GE, égales chacune à GO ou GC. Tirant enfin les droites CD, CE; je dis que les deux axes Mm, Ss, font fitués fur ces droites.

*

Car les deux axes pouvant être regardés * comme deux diametres conjugués, qui font entr'eux un angle droit, ils rencontreront la ligne DE en des points D, E, tels que le cercle décrit de ce diametre paffera par les deux points C, O, puifque le réctangle D'A× AE étant *Art. 62. égal au quarré de 40, l'angle DOE fera droit, auffibien que l'angle DCE. Or il eft évident que c'est préci fément ce que l'on vient de faire par le moyen de cette conftruction; puifque les lignes GO, GC, GE, GD étant toutes égales entr'elles, font les rayons d'un même cercle. Mais comme il ne peut y avoir fur la ligne DE que deux points D, E, qui fatisfaffent en même temps à ces deux conditions; fçavoir, que l'angle DCE & l'angle DOE foient chacun droit; il s'enfuit que les diame. tres conjugués Mm, Ss, qui font entr'eux un angle droit, feront les mêmes que les axes; & qu'il n'y en peut avoir que deux,

Maintenant pour en déterminer la grandeur, il n'y a qu'à tirer les droites OD, OE; & par les points N, R, où elles rencontrent le cercle qui a pour rayon OA, mener *Art. 63. les paralleles NM, RS. Car il eft évident que les points MS, où elles rencontrent les droites CD, CE, appartiendront à l'Ellipfe qui a pour diametres conjugués les lignes Aa, Bb; & qu'ainfi ils feront les extremites de fes

axes,

COROLLA IR E.

65. Si l'on propofoit de trouver deux diametres conjugués Mm, Ss, qui fiffent entr'eux un angle MCS égal à un angle donné; deux autres diametres conjugués Aa, Bb, étant donnés. Il eft vifible que la queftion fe réduiroit à trouver fur la ligne DE donnée de pofition; deux points D, E, tels que menant aux deux points O, C, donnés hors cette ligne, les droites DO, OE, CD, CE, l'angle DOE fût droit, & l'angle DCE égal à l'angle donné. Mais comme la folution de ce Probleme est affez difficile, on l'a renvoyée dans le 10 Livre, & on a fuivi ici une autre voye, qui eft plus fimple; c'est de trouver d'abord les deux axes, & de s'en fervir enfuite pour trouver les deux diametres conjugués qu'on demande, comme l'on va enseigner dans la Propofition fui

vante:

PROPOSITION XII.

ES

Problême.

66. Les deux axes Aa, Bb, d'une Ellipfe étant donnés 3 FIG. 28. 29. trouver deux diametres conjugués Mm, Ss, qui faffent entr'eux l'angle MCS égal à un angle donné.

Je fuppofe que les diametres Mm, Ss, foient en effet ceux qu'on demande, & qu'ils rencontrent aux points D, E, la ligne droite indéfinie DE menée par l'extremité A du petit axe A a parallelement au grand Bb. Et ayant tiré du centre C de l'Ellipfe, la ligne CF, qui faffe avec DE au point F l'angle CFE égal à l'angle donné MCS, je nomme les données CA, t; CB, c; AF, 4; & l'inconnuë AE, z; ce qui donne AD=* —, CE *Art. 62; =vitz à cause du triangle réctangle CAE. Cela pofé.

Les triangles FEC, CED, feront femblables; puifque l'angle au point E eft commun, & que l'angle CFE a

été fait égal à l'angle MCS: c'eft pourquoi FE (z—a). EC (Vit―zz) :: EC (vi➜zz). ED (z+). D'où en multipliant les extrêmes & les moyens, l'on forme l'égalité zz¬az→cc — att→zz; & effaçant de d'autre, multipliant enfuite par z, & divifant par a ̧

id vient ༢༢

CC

ace

tt

part

&

Z−=z+=2z+c=o. Et en faisant (pour faciliter le calcul) "26, on changera l'égalité précédente en celle-ci zz-2bz+cco, ou zz-262 → bbbb-cc; ce qui donne en extrayant de part & d'autre la racine quarrée z—b ou b—2—v bbcc, & par conféquent l'inconnue AE (2)=b+vbb-cc. Voici maintenant la construction que cette derniere égalité fournit.

Ayant prolongé le petit axe Aa jufqu'au point O, en forte que 40 foit égale à la moitié CB du grand; foir tirée CF, qui faffe avec DE menée par le point A pa rallelement à Bb, l'angle CFE égal à l'angle donné, Ayant joint OF, foient tirées les droites OH, CG, perpendiculaires fur OF, CF, qui rencontrent DE aux points H, G(on n'a point marqué dans les figures 28 & 29, les points H, G, fur la ligne DE; parce que ces fi gures auroient été trop grandes, & que d'ailleurs il est facile de les y imaginer). Soit décrit du centre 0, & du rayon OK, égal à la moitié de GH, partie de AD prolongée, comprife entre G & H, un arc de cercle qui coupe DE aux points K, K, & ayant pris fur DE les parties KD, KE, égales chacune à KO, foient tirées par le centre C de l'Ellipfe, les droites DC, EC. Je dis que les diametres cherchés Mm, Ss, font fitués fur ces lignes.

Car à caufe des angles droits FAC, FCG, & FAO, FOH; on aura AG- , AH & partant GH

;

cctt 26. Le rayon OK qui est égal à la moitié de HG, fera donc égal à b; & à cause du triangle réctan

glę

gle OAK, on aura AK-bb-cc, & AE ou KETAK =bvbb-cc, & AD ou KDAK=b+vbb-cc. Or cela pofé, fi l'on multiplie la valeur de AE par celle de 'AD, il vient AE×AD=cc=CB; & partant * les dia- *Art. 62. metres Mm, Ss, font conjugués. Mais le réctangle de AE→AD ou DE (26) par A E—AF ou EF (b+bb—cc—a) est=2bb2bvbb—cc—2ab2bb2bvbb―cc→tt—cc en mettant pour 2ab sa valeur cc-tt ; & à cause du triangle rectangle CAE le quarré CE'—AE’→CA=2bb➡ 2bvbb-cc-tt-cc DEXEF: ce qui donne FE. EC :: EC. ED. Et partant les triangles F EG, CED, feront femblables; puifqu'ils ont l'angle au point E commun, & que leurs côtés autour de cet angle font proportionnels. L'angle MCS fera donc égal à l'angle donné CFE. C'est ce qui reftoit à démontrer.

Maintenant pour avoir la grandeur CM, CS, des deux 'demi - diametrès cherchés, il n'y a qu'à tirer les lignes OD,OE,& mener par les points N, R, où elles rencontre le cercle qui a pour rayon OA, les paralleles NM, RS, à OC. Car il est visible* que les points M, S, où elles ren- * Art. 63. contrent les droites CD, CE, feront à l'Ellipfe, & détermineront par confequent les extremités de ces diametres.

COROLLAIRE L

67. IL fuit de cette construction, 1°. Qu'afin que le Problême soit possible, il faut que OK () surpasse ou foit égale à AO (c); car autrement le cercle décrit du rayon OK, ne rencontreroit la ligne DE en aucun point, ce qui eft neanmoins neceffaire pour la conftruction.

2°. Que lorfque OK furpaffe OA, on trouve toûjours par le moyen des deux points K, K, deux differens diametres conjugués Mm, Ss, qui fatisfont également : mais qu'alors le diametre Ss de la figure 29 eft égal au diametre Mm de la figure 28. & femblablement pofé de l'autre côté de l'axe Aas parce que AE de la figure

F

29. eft égal à AD de la figure 28. Et de même que le dia metre Mm de la figure 29. eft égal au diametre Ss de la figure 28. & femblablement pofé de l'autre côté de l'axe A as parce que AD de la figure 29. eft égal à A E de la figure 28. C'est à dire que les deux differens diametres conjugués Mm, Ss, qui fatisfont également au Problême, sont semblablement pofés de part & d'autre de l'axe Aa, & que dans ces deux differentes pofitions leurs grandeurs demeurent la même.

3°. Que lorsque OK 0A, les deux points d'interfection K, K, fe réüniffent au point touchant A; & qu'ainFIG. 30. fiil n'y a alors qu'à prendre les parties AE, AD, égales chacune à la moitié CB du grand axe: d'où l'on voit qu'il ne peut y avoir alors qu'une folution, & que les deux diametres conjugués Mm, Ss, qui fatisfont, font égaux entr'eux.

FIG. 28.29. & 30.

24

COROLLAIRE. II.

68. IL eft clair auffi que plus AF (a) eft grande, plus, l'angle obtus donné CFE l'eft auffi, & plus au contraire la ligne OK (*) diminuë: de forte que AF étant la plus grande qu'il eft poffible, l'angle obtus CF E, fera auffi le plus grand, & au contraire la ligne OK, fera la moindre, c'est à dire égale à 40. Or fi l'on mene alors FIG. 30. les droites Ba, ab; les triangles rectangles a CB, CAD, a Cb, CAE, feront tous égaux entr'eux; puifque les li gnes, AE,AD, font égales chacune à la moitié C B ou Cb de l'axe Bb, & que CA eft égal à Ca. L'angle ACM, fera donc égal à l'angle Ca B, & l'angle ACS à l'angle Cab; & partant l'angle donné MCS ou CFE, fera auffi égal à l'angle Bab. Ď'où l'on voit::

FIG. 28.29.

& 30.

*Art. 67.

1o. Que fi l'on mene de l'une des extremités a du petit axe Дa aux extremités B, b, du grand, les lignes a B, ab; l'angle obtus donné CFE, doit être égal ou moindre que l'angle Bab, afin que le Problême foit poffible. 2°. Que lorfqu'il lui eft égal, comme dans la figure 30..

*