LEMME I. 442. Si par l'extremité B d'un diametre AB, l'on mene une corde quelconque BD qui termine l'arc AD moinde que La demie circonference; & qu'ayant pris par tout où l'on voudra deux arcs contigus EF, FG, égaux chacun à l'arc AD, on tire les cordes BE, BF, BG: je dis que la corde du milieu BF eft à la fomme ou à la difference de fes deux volfines BE, BG, comme le rayon CB eft à la corde BD: fçavoir à la fomme lorfque l'origine commune B des cordes BD, BE, BF, BG, ne tombe fur pas un des deux arcs EF, FG; & au contraire à la difference, lorfqu'il tombe fur l'un ou l'autre de ces deux arcs. Car foit du centre F, & du rayon FB, décrit un arc de cercle qui coupe la corde BG prolongée, s'il eft neceffaire, au point H, pour avoir une triangle ifofcelle BFH, qui fera semblable au triangle ifofcelle DCB; puifque l'angle FBH a pour mesure la moitié de l'arc FG égal à l'arc AD, dont la moitié est aussi la mesure de l'angle CBD. On aura donc FB. BH :: CB. B D, de forte qu'il ne reste qu'à démontrer que la ligne BH eft la fomme des deux cordes BE, BG, dans le premier cas, & leur difference dans le fecond. Pour le faire. Soient tirées les cordes EF, FG, & on aura deux triangles BEF, FHG, qui feront femblables & égaux, Car dans le premier cas l'angle FHB ou FHG, est égal à l'angle F BH qui vaut l'angle FBE, puifque les arcs FG, FE, font égaux; & de plus l'angle BEF est égal à l'angle FGH, puifqu'ils ont chacun pour mefure la moitié du même arc RF; & partant l'angle GFH eft égal à l'angle EF B. Or les côtés FE, FG, & FB, FH, font égaux entr'eux. Le côté GH sera donc égal au côté BE. Donc &c. On prouvera à peu prés de même dans le fecond cas que les triangles FHG, FBE, font semblables & égaux; & qu'ainfi la ligne BH eft la difference des deux cordes BG, BE, LEMME II. 443. SOIT une Table dont le premier rang parallele renfermant le nombre 2, & le fecond la lettre x ; &le x; le troisième xx-2 foit le produit du fecond par x, moins le premier, le quatrième x3- -3x foit le produit du troisième par x, moins le fecond, le cinquième x-4xx-2 foit le produit du quatriéme par x moins, le troifiéme, & ainfi de fuite à l'infini. Soit de plus un arc de cercle quelconque AR divifé en autant de parties égales qu'on voudra, aux points D, E, F, G, &c. FIG. 269. Je dis que fi le premier rang 2 de la Table exprime la valeur 270. du diametre BA, & le fecond rang x celle de la premiere corde BD; le troifiéme rang xx-2 exprimera la valeur de la feconde corde BE, le quatrième rang x-3x celle de la troifiéme corde BF, & ainfi de fuite jufqu'à la derniere BR, en obfervant que ces cordes deviennent negatives, lorfqu'elles paffent de l'autre côté du point B. 14o 1 x " ' — 1 3 x " + 65 ×3 — 156x2 + 182x5—9 1x3→ 13. x Car . Lorfque l'arc AR eft moindre que la demie FIG. 269. circonference A DB; fi l'on multiplie une corde quelconque BF par x ; & qu'on retranche de ce produit la corde B E qui la precede, on aura la corde BG qui la fuit immediatement, puifque felon le Lemme préce F10. 279. FIG. 269. 479 dent CB(1). BD (x);: BF, BE BGBF, & partant BG x B F — BE. Donc &c. 2o, Lorsque l'arc AR eft plus grand que la demie circonference A DB; il eft visible que l'origine commune B de toutes les cordes fe trouvera neceffairement fur l'une des parties égales comme GH, dans lefquelles l'arc AR eft divifé. Or l'on prouvera comme dans le premier cas que le troifiéme rang de la Table exprime la valeur de BE, le quatriéme celle de B F, & ainsi de suitę jusqu'à BG: mais il refte à démontrer que le rang qui fuit celui qui exprime la corde BG, n'exprimera point la valeur de BH, mais celle de -BH ; & de même que le rang qui fuit ce dernier exprime la valeur de —BI, & ainfi de fuite jusqu'à —BR. Selon la formation de la Table, le rang qui fuit celui qui exprime BG est x BG-BF. Or par le Lemmę CB(1). BD(x):; BG. BF-BH, & partant - BH 1 x BG-BF; c'eft à dire que -BH vaut le rang pa rallele de la Table qui fuit immediatement celui qui exprime la valeur de BG. Mais felon la formation de la même Table, le rang qui fuit celui qui vaut — BH est xBH-BG valeur de BI, puifque felon le Lemme xBH=BI—BG: & de même le rang qui fuit celui qui vaut — BI eft felon la formation de cette même Table x BIBH valeur de la corde negative -BL, puifque felon le Lemme x BIBL+BH. Or il eft vifible qu'il en eft de même de toutes les cordes qui fuivent BL jufqu'à BR; & c'est ce qui reftoit à démon, trer, -- COROLLAIRE I 444. DE LA il est évident que fi l'arc AR est di, vifé en cinq parties égales, le fixiéme rang de Table x2-5x3-+5x exprimera la valeur de la corde BR qui foutend l'arc BR difference de l'arc AR & de la demie circonference ADB; que s'il étoit divifé en fept parties égales, le huitiéme rang feroit la valeur de BR; & |