*

71.

ayant trouvé sur le premier axe Aa, les foyers F, f, * Art. 74. on attachera dans le point F, le bout d'un fil FMO, duquel l'autre bout O, fera lié à l'extremité d'une longue regle OMf, mobile fur fon autre extremité f autour du foyer f, & dont la longueur OMƒ doit être moindre ou + Art. plus grande que la longueur du fil OMF, de la ligne Aa. Ayant enfuite décrit par le moyen de cette regle & de ce fil, deux Hyperboles oppofées AZ, xaz, comme l'on a enseigné dans la définition premiere, il est évident qu'elles auront pour premier axe, la ligne Aa, & pour fecond, la ligne Bb. Et c'est ce qu'on demandoit.

Plus la regle OMƒ fera longue, & plus les portions des Hyperboles oppofées, qu'on décrira par le moyen de cette regle, feront grandes, de forte qu'on les augmenter autant que l'on voudra, en augmentant également la longueur de la regle & celle du fil.

PROPOSITION I

Theorême.

peut

77.Si l'on mene l'ordonnée MP au premier axe Aa, & qu'on prenne fur cet axe prolongé la partie AD égale à MF, du côté du foyer F, lorsque le point M tombe fur l'HyperboLe XAZ, & du côté du foyer f lorsqu'il tombe fur fon oppofee xaz, je dis que CA. CF :: CP. CD.

Ayant nommé comme auparavant les données CA ou Ca, t; CF, ou Cf, m; & de plus les indéterminées CP, x; PM, y ; & l'inconnue CD, z; on aura dans le premier cas, AD ou MF=z-t, aD ou Mf=z, FP=x-m ou m-x ( felon que le point P tombe au deffous ou au deffus du foyer F), Pf=x+m: & dans le second cas, AD ou MF➡zt, a D où Mf=z―t, FP=x→m, Pf=x-moum-x felon que le point P tombe au deffus ou au deffous du foyer f.

Cela pofé, le triangle rectangle MPF donnerazz2tz ttyy xx2mx-mm; fçavoir, dans le premier

cas,

dans le fecond; & l'autre triangle rectangle MPf donnera z2z+=yy→xx+2mxmm; fçavoir, → dans le premier, &- dans le second.

Maintenant, fi l'on retranche par ordre dans le premier cas, chaque membre de la premiere équation de ceux de la feconde; & au contraire dans le fecond cas, chaque membre de la feconde de ceux de la premiere, il vient 41z=4mx ; d'où l'on tire CD (z)=TM*. Donc CA(t). CF (m):: CP ( x ). CD ( z ). Ce qu'il falloit &c.

COROLLAIRE.

t

78. Il est évident que fi l'on nomme les données CA ou Ca, t; CF ou Cf, m; & l'indéterminée CP, x; on aura toûjours MF-t,& Mf=TM +t, lorf que le point M tombe fur l'Hyperbole AZ, qui a pour foyer le point F: & qu'au contraire on aura MF ="→t, & Mf="-t, lorfque le point M tombe fur fon opposée xaz, qui a pour foyer le point f.

mx

PROPOSITION II.

Lt

Theorême.

79. Le quarré d'une ordonnée quelconque PM, au premier axe Aa, eft au rectangle de AP par Pa, parties de cet axe prolongé, comme le quarré de fon conjugué Bb, est au quarré du premier axe A a.

Il faut prouver que PM'. AP-Pa :: Bb*. Aa2.

Les mêmes chofes étant pofées que dans la Propofition précédente, fi l'on met dans l'équation z2z

༢

par

*Art. 77. ttyy xx+2mx-mm que l'on a trouvée * le moyen du triangle réctangle MPF, à la place de fa valeur, on formera toûjours celle-cy ttyy― mmxx-mmt t―ttxx-t4, laquelle étant réduite à une proportion, donne PM (yy). AP× Pa (xx−tt) ::

BC

(mm−tt). CÄ (tt):: Bb. Aa'. Ce qu'il falloit ⋆ Art.75.

démontrer.

COROLLAIRE L

80. Si l'on mene une ordonnée MK au fecond axe Bb, lequel j'appelle 2c; il eft clair que MK=CP (x), & que CK=PM (y). Or PM2 (yy). AP×Pa( xx—tt): : Bb (4cc). Aa (4tt). Et partant 4ccxx=4cctt4ttyy ; ce qui donne cette proportion MK (xx). CK'→CB‍ (yy+cc) :: Aar (4tt). Bb ̊ (4cc).

2

-2

C'eft à dire que le quarré d'une ordonnée quelconque MK au fecond axe Bb, eft au quarré de CK, joint au quarré de CB moitié du fecond axe Bb, comme le quarré de fon conjugué Aa, est au quarré de ce fecond axe Bb.

COROLLAIRE IL FONDAMENTAL.

39.

81. Si l'on nomme le premier ou fecond axe Aa, F1 G. 38. & 2t; fon conjugué Bb, 2c; fon parametre p; chacune de fes ordonnées PM, y; & chacune de fes parties CP, prifes entre le centre & les rencontres des ordonnées,

2

4cc

2

2

80.

x; on aura toûjours* PM (yy). CP ̊CÅ ( xx=tt):: *Art.79. 8i
Bb2 (4cc). Aa (4tt) :: p. Aa (2t). puisque selon la dé-
finition du parametre Aa (2t). Bb ( 2c) :: B b ( 2c).
où l'on doit obferver que c'est le figne - lorf
que l'axe Aa est le premier, & qu'ainfi on peut substi-
tuer alors à la place de CP-CA, le réctangle AP×Pa
qui lui eft égal, & au contraire que c'eft le figne→
lorfque l'axe Aa eft le fecond. D'où en multipliant d'a-
bord les Extrêmes & les Moyens de la premiére propor-
tion yy. xxtt: 4cc. 4tt. enfuite de l'autre yy.
xxtt::p. 2t. l'on tire yy= + cc, & y y = pxx=

tt

pt. Or comme cette proprieté convient également à tous les points des Hyperboles oppofées, & qu'elle en

1

détermine la position par rapport aux axes; il s'enfuit

tt

que l'équation yy= cc, ou yyipt, en exprime parfaitement la nature par raport à ses axes.

COROLLAIRE III.

2

82. Si l'on mene deux ordonnées quelconques MP, NQ à l'axe Aa, il est clair que MP. QN :: CP + ÇÃa. CQ*= CA. Car PM. CPCA :: Bb. A a' :: QN. COCA. Donc &c.

2

2

Il eft bon de remarquer encore qu'on peut fubftituer à la place de CP-CA, & CQ-CA, les réctangles AP× Pa, AQ× Qa qui leur font égaux; ce qu'il faut toûjours obferver dans la fuite.

COROLLA IR E. IV.

a

83. Si l'on mene par un point quelconque P de l'un ou de l'autre axe Aa (prolongé lorfque c'eft le premier) une parallele MPM à fon conjugué Bb; elle rencontrera une Hyperbole ou les Hyperboles oppofées en deux points M, M, également éloignés de part & d'autre du point P, & non en davantage. Car afin que les points M, M, foient à une Hyperbole ou aux Hyperbo*Art. 81. les oppofées, il faut que les quarrés de PM (3) pri fes de part & d'autre de l'axe Aa, foient égaux chacun à la même quantité cxxcc.

FIG. 38. &

39.

L

*

tt

COROLLAIRE

it

V.

84. Il fuit de ce que yy="xxcc, que plus CP (x) prise de part ou d'autre du centre C, devient grande, plus auffi chaque ordonnée PM (y) prife de part & d'autre de l'axe Aa, augmente, & cela à l'infini, & qu'au contraire plus CP (x) devient petite, plus auffi PM (y) diminuë; de forte que (fig. 38.) CP (x) étant égale à CA ou Ca (t) lorfque l'axe Aa, eft le premier,

PM (y) devient alors nulle ou zero; & que (fig. 39.) CP (x) étant nulle ou zero, lorsque l'axe da eft le fecond, chaque PM (y) qui devient alors CB ou Cb (c), eft la moindre de toutes les ordonnées PM (y) prises de part & d'autre du centre. D'où il eft clair:

1o. Que fi l'on mene (fig. 39.) par les extremités B,b, du premier axe Bb, des paralleles au fecond Aa; elles feront tangentes en ces points.

2°. Que les Hyperboles oppofées s'éloignent de part & d'autre de plus en plus à l'infini de leurs axes conjugués, en commençant par les extremités du premier : avec cette difference neanmoins que le premier axe rencontre chacune des Hyperboles oppofées en un point, & qu'étant prolongé il paffe au dedans; au lieu que le fecond tombe tout entier entre les Hyperboles oppofées, & ne les rencontre jamais, quoique prolongé à l'infini.

Fcc, que fi

85. IL fuit encore de ce que yy= l'on prend les points P, P, également éloignés de part & d'autre du centre C, les ordonnées PM, PM, feront égales. D'où il eft clair que fi une ligne droite MM, terminée par une Hyperbole ou par des Hyperboles oppofées, eft coupée en deux également par un axe Bb en un point K autre que le centre, elle fera parallele à fon conjugué Aa. Car menant des paralleles MP, MP, à l'axe Bb, la ligne PP, fera coupée par le milieu en C, puifque M M l'eft en K; & partant les ordonnées PM, PM, feront égales. La droite M M ferá donc parallele à l'axe Aa.

COROLLAIRE VII.

86. Si l'on conçoit que le plan fur lequel les Hyperboles oppofées font tracées, foit plié le long de l'axe Aa, en forte que fes deux parties fe joignent; il est clair (fig. 39.) lorfque l'axe Aa eft le fecond, que les